chapter11 曲线积分与曲面积分.ppt

§11.3 格林公式及其应用 §11.4 对面积的曲面积分 例3. 设 §11.6 高斯公式 通量与散度 小结 §10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 斯托克斯(1819-1903) 2. 场论中的三个重要概念 对坐标的曲面积分存在的充分条件: 对坐标的曲面积分的物理意义: 不可压缩流体在单位时间内流向 指定侧的流量 表示流速为 的稳定的密度为1的 三个对坐标的曲面积分之和的简记形式： 根据对坐标的曲面积分的定义，通过S流向指定侧的流量m可表示为 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的些性质． 例如： (1)如果把S分成S 1和S2，则 对坐标的曲面积分的性质： (2) 设S是有向曲面，?S表示与S取相反侧的有向曲面，则 这是因为如果n ?{cosa , cosb , cosg}是S的单位法向量，则?S上的单位法向量是-n ?{- cosa , - cosb , - cosg}． 计算时把曲面积分化成二重积分 一、将曲面 投影到XOY坐标面上； 二、将被积函数中的z用曲面方程 代替。 二、对坐标的曲面积分的计算法 其中当?取上侧时? 积分前取“?”? 当?取下侧时? 积分前取“?”? 注意: 对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. （前侧为正，后侧为负） （右侧为正，左侧为负） 方体?的整个表面的外侧? ??{(x? y? z)|0?x?a? 0?y?b? 0?z?c}? 解：把?的上下面分别记为?1和?2? 前后面分别记为?3和?4? 左右面分别记为?5和?6? 除?3、?4外? 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零? 因此 ?a2bc? 类似地可得 于是所求曲面积分为(a?b?c)abc? 外侧在x?0? y?0的部分? 把有向曲面?分成上下两部分? 解 ?1和?2在xOy面上的投影区域都是 Dxy ? x2?y2?1(x?0? y?0)? 如果设曲面过点(x,y,z) 的法线向量与x,y,z轴正向的 夹角分别为α，β，γ，则 三、两类曲面积分之间的关系 两类曲面积分之间的联系为 与两类曲线积分之间的联糸： 相比较，两者有什么不同？ 两类曲面积分之间的联系： 复合形式 应如何计算？ 逐个计算当然可以，但要将曲面投影在三个不同的坐标面上，比较麻烦。 注意到： 且当 时，（ 因此有： 时变号） 这样可将三个曲面积分简化成一个曲面积分统一计算 同理还有： 原式 提示: 提示? 曲面?上向下的法向量为(zx? zy? ?1)?(x? y? ?1)? 所以 解 由两类曲面积分之间的关系? 可得 提示? 解 由两类曲面积分之间的关系? 可得 解 由两类曲面积分之间的关系? 可得 1、物理意义 2、计算时应注意曲面的侧 四、小结 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度 定理1 设空间闭区域?是由分片光滑的闭曲面?所围成? 函数 P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上具有一阶连续偏导数? 则有 这里?是?的整个边界的外侧? cos?、cos?、cos?是?在点 (x? y? z)处的法向量的方向余弦? 一、高斯公式 如图所示，把S看成由S1， S2和S3三部分组成，其中S1和S2的 方程分别为z?z1(x, y)和 z?z2(x, y) ，S1 取下侧，S2 取上侧，S3 取外 侧．设闭区域W在xOy面上的投影区域为D xy． 简要证明： x y z O W S2 ：z?z2(x, y) S3 S1 ：z?z1(x, y) Dxy 用平行于坐标轴的直线网 任取一个小矩形 将 分割为若干小区域， 曲面的面积 曲面块 切平面块 ∑的面积元素： 曲面的面积公式为： ？ 计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分 曲面积分元素为 对面积的曲面积分的计算公式为 化为二重积分 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ? 上连续，则曲面积分 存在, 且有 二、对面积的曲面积分的计算法 说明: 可有类似的公式. 1) 如果曲面方程为 2) 若曲面为参数方程，只要求出在参数意义下dS的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数