数学专业学年论文泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用.doc

学号 12509013011 学年论文 （2012级本科） 题 目: 泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 作者姓名： 柴丽娜 指导教师： 李劲 职称： 教授 完成日期： 2014 年 12 月 20 日 二○一四年十二月 泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用 柴丽娜 指导教师：李劲 （河西学院数学与应用数学专业2012级3班1250901301号, 甘肃张掖 734000） 摘 要 二项分布、Poisson分布与指数分布是概率统计的基础,这3个分布存在密切的关系.本文将通过极限分布的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者之间的关系,进一步揭示它们之间的内在联系,并给出有关近似计算公式和应用实例. 关键字 泊松分布；二项分布；正态分布；特征函数 中图分类号 O211 1 引言 许多数学教材中常常只是介绍了二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等重要的概率分布,给出它们的分布列、密度函数、它们的期望和方差,但是很少讨论出这些分布之间的关系.在学习概率统计等时,常常认为这些重要概率分布之间没有什么联系,但是这些分布中间还有很多重要的关系. 本文将通过极限分布的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者之间的关系,进一步揭示它们之间的内在联系,并给出有关近似计算公式和应用实例. 2 预备知识 2.1 相关定义 定义（二项分布） 在n重伯努利试验中,每次试验中事件A发生的概率为p（0p1）,记X为n次试验中事件A发生的次数,则X的可能取值为0,1,2,…,n.且对每一个k,0≤k≤n,事件｛X=k｝即为“在n次试验中事件A恰好发生k次”,根据伯努利概型,有 P｛X=k｝=,k=0,1,2,…,n,且记 . 定义（泊松（poisson）分布） 如果一个随机变量X的概率分布为 （2） 其中为参数则称的泊松分布记作 (正态分布) 一个连续性随机变量X,如果其密度函数为 （3） 其中,,为常数则称和的正态分布记作,,则称,其概率密度函数为 定义(特征函数) 若随机变量X的分布函数为F(x),则称 （4） 为f(x),则就是 2.2相关定理 定理特征函数的一个重要定理（唯一性定理）：分布函数由其特征函数唯一确定. 证明 设A是F(x)的一切连续点的集合,对任意的,由逆转公式有 所以,对于一切,的值唯一的由其特征函数所决定,利用分布函数的右连续性选一列单调下降的趋于的连续点则有 于是,对于一切的,的值亦唯一的由其特征函数所决定 其特征函数为 结论2 泊松分布：设,则其概率分布为 其特征函数为 结论3 正态分布：其密度函数为 其特征函数为 3 主要结论及证明（三大分布之间的关系） 3.1 二项分布与泊松分布的关系（二项分布的poisson逼近） 定理1 二项分布X：b(n,p),如果n很大,而P很小,设,n为任意的正整数,,则对于任意给定的一个非负整数k,有 . 证明 由 当固定 故有 所以当n很大时,p很小时有下列近似公式 3.2 二项分布和正态分布之间的关系 定理 设随机变量,则对于任意 由上式可以得出当n充分大时,二项分布可以用正态分布来近似,即二项分布的正态逼近. 例 和在近似服从近似服从,于是可以近似地用正态分布来计算上述概率即 只要查一下标准正态分布表就可以得到的相当精确的值,泊松分布的分布函数与正态分布的分布函数是近似相等的和恒等的充分必要条件是他们的特征函数和恒等的特征函数是 泊松分布的特征函数是 对于任意的t, 的幂级数展开为 , 忽略以后的各项则有, 于是 根据唯一性定理可知,泊松分布的分布函数与正态分布的分布函数近似相等,由二项分布可以得 解法二：用泊松分布近似二项分布. 即将数据代入 可以得到 解法三：用正态分布的分布函数近似二项分布. 即将数据代入 可以得到 这里直接查标准正态分布的分布函数表求得,其误差为0这比用泊松分布产生的