数学论文席位的公平分配问题.doc

数 学 建 模 论 文 席位的公平分配问题 姓名： 学号：18 15 20 ?????????????? ? ?公平的委员分配问题 摘要: ? ? ? 1.我们首先是用惯例分配法来解决这委员分配问题的,由于方法来解决存在很大的缺陷,因此,通过组内的讨论,我们想出了Q值法来解决此问题，发现这样能作到相对公平。我们这一组开始就考虑到了该怎样分配能作到相对公平，就这个问题，我们开始了研讨。我们采用惯例分配法分析发现：各楼所得到的委员数A 、B 、C楼分别为：3、3、4人，而Q值法其结果为：A、 B、 C楼分别为：2、3、5人。 ?? ? 2.“取其精华，去其糟粕”我们发现Q值法能很好的解决委员分配问题，Q 值法：我们用Qi=(Pi*Pi)/[n(n+1)],其中i=A、 B、 C,Pi为第 i楼的人数，n为分配到的委员数，我们采用将剩下的一位委员名额分给Q值最大的一方。通过计算得到Qa=9204.16、Qb=9240.75、Qc=9331.2比较得到：QaQbQc,所以我们决定把剩下的一名委员分给C楼。 ?? ? 3.我们用惯例分配法发现有一名委员不好分配，不知道分给谁更公平些。建议：我们的思维不能太单一了，在考虑问题方面要做到全面些，这样才会少走弯路。（无论在哪方面都一样。）1.委员是以整数计量的，并且为有限个，设为n个; 2.每个单位有有限个人，委员是按各集体的人员多少来分配的 3．每个单位的每个人都具有相同的选举权利； 4．每个单位至少应该分配到一个名额，如果某个单位，一个名额也不应该分到的话，则应将其剔除在分配之外； 5．在名额分配的过程中，分配是稳定的，不受任何其他因素所干扰. 6.在分配中不会存在性别歧视，男女平等。 2.2符号设定： Pi-------第i楼的人数 Ni------第i楼分配的委员数 n------第i楼的委员数ni的计算的整数部分 三、模型的建立与求解 建模分析： 目标：惯例分配法和Q值分配法问题 在数学上，代表名额分配问题的一般描述是：设名额数为N，共有s个单位，各单位的人数分别为pi,i=1,2,…,s.问题是如何寻找一组整数q1,…,qs使得q1+q2+…+?qs=N，其中qi是第i个单位所获得的代表名额数，并且“尽可能”地接近它应得的份额piN/(p1+p2+…+ps)，即所规定的按人口比例分配的原则. ? ? 如果对一切的i=1,2,…,s，严格的比值恰好是整数，则第i个单位分得qi名额，这样分配是绝对公平的，每个名额所代表的人数是相同的.但由于人数是整数，名额也是整数，qi是整数这种理想情况是极少出现的，这样就出现了用接近于qi的整数之代替的问题.在实际应用中，这个代替的过程会给不同的单位或团体带来不平等，这样，以一种平等、公正的方式选择qi是非常重要的，即确定尽可能公平（不公平程度达到极小）的分配方案.? ? ? 按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则-- Hamilton (哈密顿)方法 惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？ 　　在数学上，代表名额分配问题的一般描述是：设名额数为N，共有s个单位，各单位的人数分别为pi,i=1,2,…,s.问题是如何寻找一组整数q1,…,qs使得q1+q2+…+?qs=N，其中qi是第i个单位所获得的代表名额数，并且“尽可能”地接近它应得的份额piN/(p1+p2+…+ps)，即所规定的按人口比例分配的原则. 　　如果对一切的i=1,2,…,s，严格的比值恰好是整数，则第i个单位分得qi名额，这样分配是绝对公平的，每个名额所代表的人数是相同的.但由于人数是整数，名额也是整数，qi是整数这种理想情况是极少出现的，这样就出现了用接近于qi的整数之代替的问题.在实际应用中，这个代替的过程会给不同的单位或团体带来不平等，这样，以一种平等、公正的方式选择qi是非常重要的，即确定尽可能公平（不公平程度达到极小）的分配方案. 　　Hamilton (哈密顿)方法? 　　哈密顿方法具体操作过程如下 先让各个单位取得份额qi的整数部分[qi]； 　　② 计算ri=qi-[qi]，按照从大到小的数序排列，将余下的席位依次分给各个相应的单位，即小数部分最大的单位优先获得余下席位的第一个，次大的取得余下名额的第二个，依此类推，直至席位分配完毕. 　　上述6个楼的21个名额的分配结果见表1. 哈密顿方法看来是非常合理的，但这种方法也存在缺陷.譬如当s和人数比例不变时，代表名额的增加反而导致某单位名额qi的减少. 表1 楼别 人数 所占比例 入选人数? ? A 235 235/1000 3 B 333 333/