§2-3 一维原子链的振动 长波近似.ppt

三、玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 重要结论 1、格波的数目，等于原胞的数目。 2、在波矢空间，一维双原子复式格子的每一个可能的q所占据的线度为π/Na.这里，对应于每个q值有两个不同的ω，一个是光学波角频率，另一个是声学波角频率。因此对于一维双原子的复式格子，角频率数为2N,既然每一角频率对应于一个格波，格波数必为2N。 3、在一维双原子复式格子中，每个原胞有两个原子，晶体的自由度是2N,因此得到这样的结论： 晶格振动波矢的数目= 晶体原胞数； 晶格振动频率的数目= 晶体的自由度数。 2.3长波近似 声学波中相邻原子都沿同一方向振动；光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动。当波长比原胞的线度大得多时，这两支格波各自的特点更加显著，这时声学波代表原胞质心的振动，而在光学波中，这时原胞的质心保持不动。若晶体由正负两种离子组成，波长很长的光学波会使晶格中出现宏观的极化。 —— q空间的周期 频率极小值 频率极大值 只有频率在 之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减 —— 一维单原子晶格看作成低通滤波器 色散关系 * * §2.1一维原子链的振动 一、一维单原子链的振动 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程 —— 将电子的运动和离子的运动分开 一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1个原子间的相对位移 第n个原子和第n＋1个原子间的距离 平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能 —— 常数 简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力 —— 平衡条件 原子的运动方程 —— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力 第n个原子的运动方程 —— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同 方程解和振动频率 设方程组的解 naq — 第n个原子振动位相因子 得到 格波的波速 —— 波长的函数 —— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱 格波的意义 连续介质波 波数 —— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为?的振动 格波方程 —— 格波的波形图 —— 简谐近似下，格波是简谐平面波 —— 向上的箭头代表原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表原子沿X轴向左振动 格波波长 格波波矢 格波相速度 不同原子间位相差 格波方程 相邻原子的位相差 波矢的取值和布里渊区 格波 相邻原子位相差 —— 原子的振动状态相同 格波2(Green)波矢 格波1(Red)波矢 相邻原子位相差 —— 两种波矢的格波中，原子的振动完全相同 波矢的取值 相邻原子的位相差 —— 第一布里渊区 二、一维双原子链 声学波和光学波 一维复式格子的情形 —— 一维无限长链 —— 两种原子m和M _( M m) ____ 构成一维复式格子 —— M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… —— m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… —— 同种原子间的距离2a____晶格常数 —— 系统有N个原胞 —— N个原胞，有2N个独立的方程 —— 两种原子振动的振幅A和B一般来说是不同的 第2n+1个M原子的方程 第2n个m原子的方程 方程解的形式 —— A、B有非零的解，系数行列式为零 第2n+1个M原子 第2n个m原子 方程的解 —— 一维复式晶格中存在两种独立的格波 —— ?与q之间存在着两种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在两种独立的格波 —— 光学波 —— 声学波 两种格波的振幅 —— 光学波 —— 声学波 相邻原胞之间位相差 M和m原子振动方程 q的取值 波矢q的值 —— 第一布里渊区 采用周期性边界条件 布里渊区大小 —— h为整数 每个波矢在第一布里渊区占的线度 第一布里渊区允许的q值的数目 —— 晶体中的原胞数目 —— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为2N ： 原子的数目: 2N q的取值 色散关系的特点 短波极限 两种格波的频率 因为 M＞m —— 不存在格波 频率间隙 —— 一维双原子晶格叫做带通滤波器 长波极限 声学波 应用 —— 声学波的色散关系与一维布喇菲格子形式相同 长声学波中相邻原子的振动 —— 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致 —— 代表原胞质心的振动 光学波 长波极限