一类免疫传染病模型的建模及分析.pdf

第35卷第3期 泰 山学 院学 报 、r01．35 NO．3 2013年5月 JOURNALOF IIAISHAN UNIVERSrIY Mav． 2013 一 类 免 疫 传 染 病 模 型 的 建 模 及 分 析 王素霞，吴正飞，徐 英 (淮南师范学院数学与计算科学系，安徽 淮南 232038) [摘 要】 建立了一类免疫传染病传播的动力学模型，分析 了模型无病平衡点和地方病平衡点的存在性 及渐近稳定性条件 ，并求出了疫苗接种的有效率和疫苗接种率的阈值．通过数值模拟，验证 了理论分析结果的 正确性． [关键词] 免疫传染病模型；无病平衡点；地方病平衡点；阈值 [中图分类号】0193 [文献标识码]A [文章编号】1672—2590(2013)03—0041—05 用数学模型帮助发现传染病的传播机理，预测传染病的流行趋势已成为共识．人类历史上曾多次受 到危害极其严重的传染病的威胁．从公元2世纪在罗马帝国流行的Antonine瘟疫，到后来的麻疹、黑死 病 (淋巴腺鼠疫)、百 日咳、霍乱、痢疾、肝炎、艾滋病等等，它们一次又一次的爆发和流行，给人类生存和 国计民生带来了巨大的威胁和灾难．特别是在2002年冬到2003年春天，非典型肺炎 (SARS)传染病突 然侵袭了大半个中国，给国民经济和人们的正常生活造成极大的影响．由于人们对此种传染病的传播机 理还不太清楚，因而一度引起了恐慌．因此，预防和控制传染病的研究显得极其重要． 1 模型建立 本文建立一类免疫传染病传播的动力学模型 】，疾病的传播机制如图1所示． 图1 传播机制框图 [收稿 日期]2013一o3—27 [基金项 目]安徽高校省级科学研究项目(KJ2013B260，KJ2012Z367) [作者简介]王素霞(1982一)。女，河南周口人，淮南师范学院数学与计算科学系助教． 42 泰 山学 院 学报 第35卷 现对模型作如下假设 ： (1)由于对传染病晚期患者采取非常严格的隔离措施，在建立模型时不再考虑； (2)一个病人一旦与易感者或接种疫苗者接触就必然具有一定的传染力； (3)患病者是不可治愈的． 在图1中有五个仓室，分别代表人群中易感者类Js 接种疫苗者类 s|、轻度 (初期)患病者类 、中 度 (中期)患病者类 ，2和重度 (晚期)患病者类A．这一地区的总人1：3数N=S+．s+J。+厶，人 口输入(主 要是新婴儿出生)率为b，人1：3输出(包括自然死亡和人1：1迁出等)率为 图1中Forml表示cS(p，+ ，2)／N，Form2表示 cS(卢。，。+ ，2)／J7v．其中c是接触率，是疫苗 接种率，由于轻度患病者和中度患病者处在不同的传染病传播阶段，对易感人群和接种疫苗人群的传播 系数分别用 。， 表示．因此对仓室Js建立方程如下： s，：6Ⅳ_ 一 一dS (1) 传染病疫苗并不能对人们提供 100％的保护，只是疫苗接种者被传染的概率要比不接种疫苗的人 群要低．令 表示疫苗接种的有效率．因此对仓室s|建立微分方程如下： S，： 一 一dS (2) 由于患病者病情的加重，轻度患病者以 。的比率转为中度患病者，中度患病者以 的比率转为重 度患病者．通过有效的治疗可以使患病者病情好转，中度患病者以g：的比率转为轻度患病者．因此对仓 室，和 ，2建立微分方程如下： - ： 4 ，．=一 ．