一类全纯函数的正规定则.pdf

程 数学物理学报 http：／／actams．wipm．ac．cn 一 类全纯函数的正规定则 黄文 叶亚盛 (上海理工大学理学院 上海 200093) 摘要： 为区域 上的全纯函数族， 3是正整数，对任意的f∈ ，f(z)的零点的重数 k，零点个数至多为 m，其中m +l，且满足：f(z)=0甘 f ()=1，则 在区域 口 上正规．这个结果部分地证实了Pang-Zalcman的一个猜想． 关键词：全纯函数；正规族；分担值． MR(2000)主题分类：30D35 中图分类号：O174．52 文献标识码：A 文章编号：1003—3998(2012)061166—05 1 引言 设 为区域 内的亚纯函数族．如果从 中任意函数序列 { (z))均可选出一个子序 列 { ())在区域 上按球距内闭一致收敛，则称 在区域 内是正规的． 设 ，()，g(x)为区域 内的两个亚纯函数，a为复数，若当 f(z)=a，有g(z)=a，记 为 f(z)=a g(z)=a．若 f(z)=a g(z)=a和 g(z)=a f(z)=a同时成立，记为 f(z)=a营g(z)=a，也称 ．厂(名)，g(z)在区域 内 M 分担 a． 1959年w．K．Hayman[]建立了著名的不等式． 定理 A 设 ／(z)为 R( CO)上的非多项式亚纯函数， 是正整数．则对于 0 rR，有 1 1 9 1 (r，厂．)(2+云)Ⅳ(r，÷)+(2+云)Ⅳ(r， )+s(r，，)． 随后文献 2『1便以猜想的形式提出一个亚纯函数族在 Miranda定则的条件保持不变的情 形下是否仍保持其正规性?此问题在 1979年被顾永兴 所证明． 定理B 设 为区域 上的一族亚纯函数，k2l为一正整数．若Vf(z)∈ ，f(z)≠0， 。厂()()≠1，则 在区域 上正规． 2000年庞学诚和L．Zalcman[】在分担的条件下讨论了相应的正规性，并得到如下结论． 定理 c 设 为区域 上的亚纯函数族，尼为正整数，M 为有穷正数．如果对任意 的f(z)∈．7-，f(z)的零点的重数 后，且满足如下两个条件 (1)f(z)=0错 _，()()=l； (2)f(z)=0 0，『(蚪)()lM，则 在区域 上正规． 收稿 日期：2011—07—11；修订 日期：2012—09—08 E—maih helloven@163．COII1 基金项 目：国家自然科学基金 资助 N0．6 黄文等：一类全纯函数的正规定则 1167 并且提出问题：定理 C中的条件 (2)是否可以省略? 由于存在反例：fn(Z)=嘉(e+e_。。一2)，故若要省略条件 (2)，同时至少需另加k 3 这个条件． 本文假设每个全纯函数的零点个数都是有限，并且一致有上界，得到如下结论． 定理 1 设 为区域 上的一族全纯函数，k23是正整数，对 Vf∈ ，f(z)的零点 的重数 之 ，零点个数至多为m，且满足 (1)f(z)=0错 ，㈩(Z)=1； (2)，()=0={厂l(¨)()l0， 则 在区域 上正规． 定理 1去掉了定理 C中条件 (2)的部分要求． 例 1 ={，礼()=Z2(礼 一 ))，又 ()一1=12nz(nz一 )，所以，n()=0仁 ()=1，同时 (z)=24n。一6v％，显然也满足厂．(z)=0 1厂．(。)(z)l=0，但是 在 z=0处是不正规的．