一类具有时滞和阶段结构的SIR流行病模型分析.pdf

云南民族大学学报：自然科学版，2015，24(3)：211—216 CN53—1192／N ISSN 1672—8513 doi：12．3969／j．issn．1672—8513．2015．03．010 http：／／xb．ynni．edu．cn 一 类具有时滞和阶段结构的SIR流行病模型分析 王丽敏 ，刘熙娟 (兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州730070) 摘要：建立了具阶段结构的时滞传染病模型，得到了疾病流行与否的阈值 R。．讨论了R。1时， 无病平衡点的局部稳定性和 Hopf分支的存在性及 R。1时，地方病平衡点的局部稳定性和 Hopf分支的存在性． 关键词 ：时滞 ；阶段结构 ；传染病模型 ；局部稳定性 ；Hopf分支 中图分类号：O175 文献标志码 ：A 文章编号：1672—8513(2015)03—0211—06 传染病动力学就是根据传染病的发病机理和过程建立数学模型，通过模型分析来对传染病作定性分析． 由于各种传染病内在机理和病理不同，在疾病传播过程中的表现不同，如风疹在不同阶段体现出不同传染 力，故研究具阶段结构的传染病模型就更贴近实际 ．很多学者将种群的成长过程分为幼年和成年2个 阶段，研究疾病在幼年个体或成年个体 ’“ 中传播的情况，也有一些研究是将疾病的传播过程分为轻度 感染和重度感染2个阶段 J．本文是在文献[5]的基础上引入时滞因子，建立了具阶段结构的时滞SIR传染 病模型，对其进行了讨论． 1 模型建立 将种群分为4个群体：易感者 (5)，轻度染病者(11)，重度染病者 (，2)和恢复着 ()．考虑到易感者与染 病者 ，。类、，2类接触后按不同比例均进入 ，。类，，2类染病者均可恢复，轻度染病者经过时间下后有可能发展 为重度染病者且种群无因病死亡率，建立了如下模型： S=A一z／S(t)一 1S(t)il(t)一卢2S(t)／2(t)， ，- 卢-s|()，t()+fl2S(t)I2()一( + -)，()一kI1(t一下)， ( 1) ，2：kl1(t— )一( + 2)，2(t)， R= l，l(t)+y2，2(t)一 (t)． 其 中，S(t)，，。(t)，12(t)，R(t)分别表示t时刻易感者数 目，轻度染病者数 目，重度染病者数 目，恢复者数 目．A 为种群输人率，为 自然死亡率， (i=1，2)为种群，类的感染率， (i=1，2)为种群 的恢复率，k为轻度 染病者发展为重度染病者的速率，丁≥0为轻度染病者发展为重度染病者所经历的时间．以上所有参数均为 正数． 在模型(1)中，前3个方程均不含 R(t)，因此模型(1)的动力学性态等价于以下模型 =A一 ．s㈩ 一3／1S( )一 ㈤ ，2㈤ ， dll =卢。Js()，。(￡)+ s(￡)，2(￡)一( +y)It()一kll(一 )， (2) = kll )_( )，2( 收稿 日期：2014—12—12． 基金项 目：国家 自然科学基金 ． 作者简介：王丽敏 (1988一)，女，硕士研究生．主要研究方向：生物数学 212 云南民族大学学报(自然科学版) 第 24卷 的动力学性态，在模型(2)的非负初始状态下，解显然也保持非负性． 令N =S+，。+，2，由系统 (2)可得： = A—g(S+，1+／2)一Yl卜 ，2≤A一 ， 故limsu[1Ⅳ(t)≤一A ． 于是区域力= {(s，，，厶)：S≥0，，≥0，12≥0，S+，。+，2≤