一类具有饱和发生率和饱和治愈率的SIR传染病模型的分支分析.pdf

第4O卷 第 3期 昆明理工大学学报(自然科学版) Vo1．40 No．3 2015年6月 JournalofKunmingUniversityofScienceandTechnology(NaturalScienceEdition) Jun．2015 doi：10．16112／j．cnki．53—1223／n．2015．03．022 一 类具有饱和发生率和饱和治愈率的 SIR 传染病模型的分支分析 商宁宁，王 辉，胡志兴，廖福成 (北京科技大学 数理学院，北京 100083) 摘要：介绍了一类具有饱和发生率和饱和治愈率的SIR传染病模型，并考虑了接种免疫和垂直感 染对传染病传播的影响．首先，得到了模型的基本再生数 ．研究发现 系统在 R =1处出现了 后向分支，因此当R。1时不足以证明疾病得到消除．通过计算得到一个新的临界值R0，当R Rol时，疾病才会逐渐消亡．其次，研究了模型平衡点的存在性和稳定性，通过特征理论分 析得到平衡点稳定的充分条件．接着给出模型出现Hopf分支的充分条件．最后通过数值模拟来 验证结论 的正确性． 关键词 ：传染病模型；饱和发生率；饱和治愈函数 ；接种免疫；垂直感染；稳定性 ；分支 中图分类号：0175．13 文献标志码 ：A 文章编号：1007—855x(2015)03—0139—10 BifurcationAnalysisofanSIR EpidemicM odelwith Saturated IncidenceRateand SaturatedTreatmentFunction SHANG Ning—ning，WANG Hui，HU Zhi—xing，LIAO Fu—cheng (Collegeofmathematicsandphysics，UniversityofScienceTechnologyBeijing，Beijing100083，China) Abstract：Inthisarticle。asaturatedtreatmentfunctionintoanSIRmodelwithsaturatedincidencerateiSintro- duced．Consideringtheimpactofvaccinationandve~icalinfectiononthespreadofinfectiousdisease．First，this papergetthebasicreproductivenumberR0ofthemode1．ItisshownthatthereexistsabackwardcwhenR0= 1 ． Therefore，R0 1isnotenoughtoprovethatthediseaseiseliminated．Atthistime，anew thresholdRoisob- tainedbycalculation．ThediseasewillgraduallybecomeextinctwhenR0R0 1．Theexistenceandstability ofequilibrium pointofthemodelarestudied．Throughtheanalysisofthecharacteristictheoryandobtainthesuf- ficientconditionofthestabilityoftheequilibrium point．Next，thesufficientconditionofmodelappearHopfbi- fureationisgiven．Finally，throughthenumericalsimulationtoverifythecorrectnessoftheconclusion． Keywords：epidemicmodel；saturationincidence；saturatedcurefunction；vaccination；verticalinfection；sta- bility；bifurcation 0 引 言 传染病是由病原体感染引起的能在人群或其他种群中流行的疾病