一类矩阵方程组带有子矩阵约束的最小二乘中心对称解.pdf

第32卷 第3期 工 程 数 学 学 报 Vo1．32N。．3 2015年06月 CHINESE JOURNALOFENGINEERING MATHEMATICS June2015 doi：10．3969／j．issn．1005—3085．2015．03．009 文章编号：1005—3085(2015)03—0397—19 一 类矩阵方程组带有子矩阵约束的 最zjx--．乘中心对称解术 彭卓华， 刘金旺 f湖南科技大学数学与计算科学学院，湘潭 4112011 摘 要：约束矩阵方程问题在控制理论、振动理论、工程和科学计算等领域具有重要应用．基 于共轭梯度法的思想，本文构造了一种算法，以寻求一类矩阵方程组的带有子矩阵约 束的最小二乘中心对称解．在没有舍入误差的情况下，该算法经过有限步迭代得到了 矩阵方程组带子矩阵约束的最小二乘中心对称解，而且，通过选择一种特殊的初始矩 阵，得到了矩阵方程组的带子矩阵约束的最小范数最小二乘中心对称解．数值实验显 示该算法具有较快的收敛速度． 关键词：中心主子矩阵；中心对称解；子矩阵约束；最小二乘解；最小范数解 分类号：AMS(2000115A24；65F10；65F30 中图分类号：O175．13 文献标识码：A 1 引言 矩 阵方程 问题是当今数值计算领域 的热 门研究课题 ，在控制理论 、振动理论 、 稳定分析等领域具有广泛 的应用，一直受到专家和学者们 的高度重视和广泛关注 ． 例如 ，Yuan[l利用 四元素矩 阵的复表示得 出了矩 阵方程A B + D = E的最小 范数 叩一Hermitian和卵一anti—Hermitian解 的表达式．Wang[2】在正则环中研究了矩阵方程 组AlXB1：C1，A2XB2= ，并给出了这个矩阵方程组解存在的充要条件和通解 的表 达式．Wang[0]给 出了矩阵方程组 — YBi= Ci， i= 1，2，·一 ，8， AiXBi— YDi= Ei， i= 1，2，·一 ，8， 具有双对称解的充分必要条件． 近年来，很多学者对一些约束矩阵(诸如双对称矩阵，中心对称矩阵等)的子矩阵约 束问题产生了浓厚的兴趣 ．例如，Liao[】研究了带有子矩阵约束的双对称矩阵逆特征值 问 题．Gong[】研究了矩阵方程AXAT= B带顺序主子矩阵约束的反对称解 ．Zhao6[]研究 了矩阵方程A ：B带中心主子矩阵约束的双对称解．然而，矩阵方程组 AXB + yD = U， EXF +GYH ： V 收稿日期：2013—12—23．作者简介：彭卓华 (1967年2月生)，男，博士，副教授．研究方向：数值代数 基金项目：国家自然科学基金 ；湖南省高校创新平台开放基金 (13K087)． 398 工 程 数 学 学 报 第32卷 带中心主子矩阵约束的中心对称解，还没有相关的结论，而且上述文献中的方法不能直接 求得这个解 ．由于矩阵方程组的系数矩阵往往来 自实验 ，可能不满足方程组的可解条件 ． 因此，本文讨论最小二乘问题．为了论述方便，首先介绍一些符号和知识． m 和 分别表示m ×n实矩阵和实数的集合． ( = (e，e一1，… ，e1))表 示佗×n反单位矩阵 (e表示n×n单位矩阵的第i列)．上标 ，tr和0分别表示矩阵的转 置、迹和直和．设A，B ∈R ，定义A与B的内积为(A，B)=tr(BTA)．由这种内积 生成的范数，就是Frobenius范数，用lIAIl来表示． 定义1 称矩阵X= (zif)∈ 为中心对称矩阵，如果X = XSn，即 xij=xn+1一t，n+1一J， 1 i，J n． 用C 札X 表示n阶实中心对称矩阵的集合 ． 定义2 矩阵X：(巧)∈