一类矩阵方程组的正交投影迭代解法.pdf

第 36卷 第 3期 吉首大学学报 (自然科学版) V01．36 No．3 g015年 5月 JournalofJishouUniversity(Natura1SeienceEdition) May2015 文章编号 ：1007—2985(2015)03—0001—06 一 类矩阵方程组的正交投影迭代解法 周富照，田时宇，袁艳杰 长沙理工大学数学与计算科学学院，湖南 长沙 410004) 摘 要：讨论 了矩阵方程组AX—B，XC=D 一般解 的正交投影迭代解 法．利 用正交投影原理和一般 矩 阵的结构 、性质 构造迭代算法，再利用矩阵的奇异值分解、F一范数 的正交不变性及矩阵方程组解的性质 ，证 明了算法的收敛性，且推导出收 敛速率的估计式．经数值实例验证 了算法的有效性． 关键词：矩阵方程组；一般解 ；正交投影迭代法；最佳逼近解 ；极小范数解 中图分类号：O241．6 文献标志码 ：A DoI：10．3969／j．cnki．jdxb．2015．03．001 为 了叙述方便 ，先介绍一些记号．用 表示m ×n实矩阵的集合 ，Ao B表示矩阵A和口的Kronecker积 ，vec(A)表 示将矩阵A按行拉直构成的列向量 ，tr(A)表示A的迹。对A，B∈R ，A与B的内积定义为(A，B一tr(B A)，由此 内积 导出的范数 IIAlI= ~／tr(AA)，即矩阵A的Frobenins范数． 考虑如下 问题 ： 问题 I 给定A ∈R ，B ∈ ，c ∈R ，D ∈R ，s R ，求 x ∈S，使得 fAX 一 丑 ． { (1) X【C — D ． 问题 Ⅱ 设 问题 I相容，且其解集合为 S ，给定 ∈R ，求 ∈S 使 ll 一 IJ=min{Ix一 lI． (2) x∈SE 问题 I与 问题 Ⅱ就是约束矩阵方程组问题及其最佳逼近问题 ，来源于左右逆特征对 问题 ，在循环理论等领域有广泛 的应用n]．近几年，国内外众多学者对该问题的研究取得许多成果．如文献E23利用矩阵的广义逆，就 s为一般实矩阵集合 研究了问题有解的条件及其解的表达式；文献 一4]借助于矩阵的奇异值分解及矩阵的广义逆，就s为对称正定矩阵集合 、 自反矩阵集合、反 白反矩阵集合、广义 自反矩阵集合等给 出了问题有解 的充分必要条件及其通解 的表达 ；文献1-53借助于拉 直算子及线性方程组的迭代思想，就 S为一般实矩阵集合研究了问题的迭代解法；文献I-6]就 S为一般实矩阵集合、对称矩 阵集合、反对称矩阵集合、中心对称矩阵集合等研究了矩阵方程组 A。XB c ，AzXBz=C 的广义共轭梯度迭代解法． 迄今为止 ，关于问题 I韵正交投影迭代解法的研究文献尚未见到．笔者主要就问题 I和问题 Ⅱ的正交投影迭代解法 进行研究． * 收稿 日期 ：2014—10_．31 基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目 作者简介 ：周富照(1964一)，男，湖南涟源人 ，长沙理工大学数学与计算科学学院教授 ，博士，主要从事数值代数研究． 吉首大学学报 (自然科学版) 第 36卷 问题 l的迭代解法 首先给出求解 问题 I的算法． 算法 1 (i)任取 X。∈R ，令 R。= 01，其中B。一B--AXo,Do—D—x。c；