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两个非线性可积方程的相似约化.pdf
第 44卷 第 3期 内蒙古师范大学学报 (自然科学汉文版) V01.44No.3
2015年 5月 JournalofInnerMongoliaNormalUniversity(NaturalScienceEdition) M ay2015
两个非线性可积方程的相似约化
那仁满都拉,钟鸣华,斯仁道尔吉
(内蒙古师范大学 数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010022)
摘 要 :利用 c—K直接约化方法 ,构造 了两个非线性可积方程的相似约化方程和它们的相似解.
关键词 :非线性方程 ;相似约化方程 ;相似解
中图分类号 :0175.2 文献标志码 :A 文章编号 :1001-8735(2015)03—0281—04
O 引言
1989年 ,Clarkson等Ⅲ提出了微分方程相似约化的直接方法 (C-K直接约化方法),该方法能够给出古
典 Lie群方法所得不到的新的相似约化,同时不用复杂的群论分析就可以给出相似解.C—K直接约化方法不
但可以推广应用到高维的情形,而且能够给出更 多的相似约化,因而被广泛应用于寻找 Boussinesq方程 、
组合 KDV方程 引、具有阻尼项 的非线性波动方程 引、ModifiedBoussinesq方程Ⅲ、Symmetric—Regularised—
Long—Wave方程 引、ModifiedBenjamin—Bona—Mahoney方程 、Sharama—Tasso—Olver方程 ,以及源 于
Fermi—Pasta—Ulam 问题的非线性发展方程 等众多非线性偏微分方程的新的相似约化.
本文利用 C—K直接约化方法 ,研究文献 [8]提出的两个非线性可积方程
“f— M + + 一 。一 0, (1)
“一 “ + + 一 。一0 (2)
的相似约化方程和相似解.为 了讨论方便 ,把方程 (1)和方程 (2)分别称为 SI—I方程和 SI—II方程.
设方程 (1)和方程 (2)的解 的形式为
u(x,f)一a(,)+fl(x,t)W (Z(x,)), (3)
其中a,,W ,Z分别为所示变元的待定函数 ,并且依照如下规则来确定这些待定函数.
规则 1 若 a(x,f)取形式 a==:a。(z,)+p(x,)n(z),则选取 一0(作代换 w — w—n).
规则 2 若 (z,£)取形式卢一po(Lz,t)21(Z),则选取 21(Z)三 1(作代换 W 一 ).
规则 3 若21(Z)关于z的任意函数且可逆,Z(x,)由21(Z)一Z0(z,£)确定 ,则选取21(Z)一z(作代换
Z— (Z)).
1 SI-I方程 的相似约化
在 ≠ 0的假设下,将 (3)代入方程 (1),整理后得
82Zw + zww +a8z~w+ (Bp8z +
82ZxZ ) 2+ (28~z 4-郎zZ 4-p Z WW 4-(BZ 一盆z +
2口 Z +a8z + 口 Z )W 一卢。W。+ (f1.fl 一3a卢)w。+
( 一 +a +a8 +卢一3a8)w + 口一a+aa +口一口。一0, (4)
收稿 日期 :2014—10—26
基金项 目:国家 自然科学基金资助项 目11261037);内蒙古师范大学 “十百千”人才培养工程资助项 目(RCPY-2—2012一K一034)
作者简介 :那仁满都拉(1989一 ),男 ,内蒙古通辽市人,内蒙古师范大学硕士研究生
通信作者:斯仁道尔吉 (1954一),男 (蒙古族),内蒙古正蓝旗人,内蒙古师范大学教授 ,主要从事孤立子与可积系统理论研究,E—mail:siren
@imnu.edu.an.
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