弹性力学基础知识.ppt

三、弹性力学的两类平面问题 1. 平面应力问题 应力特征： 由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有： 进一步，由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有 则，弹性力学的6个应力分量，只剩： 故得名平面应力问题 平面应力问题 应力张量 可以简化为： 平面应力问题 物理方程中后两式可见，这时的剪应变： 由物理方程中的第三式可见： 一般 ， 并不一定等于零，但可由 及 求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑 三个应变分量即可，于是应变张量简化为： 平面应力问题 物理方程简化为： 转化成应力分量用应变分量表示的形式： 平面应力问题 用矩阵方程表示： 它仍然可以简写为： 弹性矩阵[D]则简化为： 平面应力问题 只有 三个应变分量需要考虑，所以几何方程 简化为： 三、弹性力学的两类平面问题 2. 平面应变问题 几何特征：无限长等截面拄形体 外力特征： 面力和体力均平行于横截面且不沿长度变化的 应变特征： 应变仅是x，y的函数；由于对称性，w＝0 平面应变问题 既然w = 0，而且u及v又只是x和y的函数，由几何方程 可见 。于是只剩下三个应变分量 ， 几何方程仍然简化为方程 得名平面应变问题 平面应变问题 因为 由物理方程中后两式可见 又由物理方程中的第三式可见： 在平面应变问题中，虽然 ， 但 一般并不等于零，不过它可以由 及 求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量 需要考虑。 平面应变问题 物理方程简化为： 平面应变问题 将式用矩阵方程表示： 它仍然可以简写为： 弹性矩阵[D]则为： 平面应变问题 工程中有许多问题很接近于平面应变问题，如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的沿Z向长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定距离的地方，得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。 平面应力和平面应变问题 基本变量 平衡方程 边界条件 几何方程 物理方程呢？ 平面应力与平面应变问题 对于平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用， 而对于平面应变则采用， 还可注意，在平面应力弹性矩阵中，若将 E 改换为 ，将 改换为 ，就得出平面应变弹性矩阵。 再 见 一、弹性力学的边界条件 扩展到三维情形的力的边界条件 二、弹性力学中的能量表述 功能原理的两个基本概念： 功（work）：外力功； 能量（energy）：如动能、势能、热能等 弹性问题中的功和能量： 外力功：施加外力在可能位移上所做的功 应变能：变形体由于变形而储存的能量 二、弹性力学中的能量表述 1. 弹性力学中的外力功（work by force） 弹性力学中的外力包括：面力和体力，故外力功包括： Part 1：面力pi在对应位移上ui上的功（on Sp） Part 2：体力bi在对应位移上ui上的功（in Ω） 外力总功为： 二、弹性力学中的能量表述 2. 弹性力学中的应变能(strain energy) 设加载缓慢，系统功能可忽略，同时略去其它能量（如热能等）的消耗，则所做的功全部以应变能的形式储存于内部。 Part 1：对应于正应力与正应变的应变能 Part 2：对应于切应力与切应变的应变能 对应于微元体的两种变形：线应变和切应变，亦有两种形式的应变能： 怎么求？ Part 1：对应于正应力与正应变的应变能 微元体的变形能： 整个物体Ω上σx，εx 所产生的变形能： Part 2：对应于剪应力与剪应变的应变能 微元体的变形能： 整个物体Ω上τxy，γxy 所产生的变形能： 二、弹性力学中的能量表述 2. 弹性力学中的应变能(strain energy) 由叠加原理，将所有方向正应力正应变、剪应力剪应变所产生的变形能叠加 应变能密度 其中：i,j ＝ x,y,z。μ,λ称为拉梅常量，其与工程弹性常数 E,ν的关系为： 不难发现： 应变能密度的性质 弹性应变能密度U0(ε