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一阶微分方程的初等解法及其应用 摘 要:本文介绍一阶微分方程的初等解法及其若干应用,把微分方程的求解问题化为积分问题,应用到实际中.用理论指导实践,由抽象总结出具体规律,加深对所学知识的理解 关键词:变量分离方程恰当微分方程;常数变易法;积分因子. The Solution of First-order Differential Equations Abstract:This article focuses on the solution of first-order differential equations and its several applications,through different methods to solve this important technology for the application of integration. Theories to guide practice,From the abstract into concrete laws,so as to enhance the understanding of the knowledge. Keywords:separable equations;exact equations;constant variation;integrating factor. 引言 一阶微分方程的解法与很多而且技巧性也很强本如变量变换法常数变易法恰当微分方程的求法及一阶隐式微分方程的参数表示法1.变量分离 （1） 称为变量分离方程这里分别是的连续函数 我们可将（1）改写成 变量就分离来了两边积分得到 2） 明确写出来而把分别理解为的原函数常数的取值必须保证有意义如无特别声明以后也作这样理解 2）理解为的隐函数关系式或的函微分（2）两边知对任意常数由（2）所确定的函数关系式满足（1）因而（2）是（1）的通解 2）式不适合的情形但如果存在则直接验证知也是（1）的解因此还必须寻求的解不包括在方程的通解（2）中时必须补上特解 使它的切线介于坐标轴的部分被切点分成相等的两部分 所求的曲线方程为过曲线上任一点的切线交轴于点交轴于点由题意为的中点不妨设则切线的斜率为另一方面曲线在点的斜率为因此 , 得到 , . 因此方程的通解为即得所求的曲线族为这里为任意常数 1.化为变量分离方程的类型 形如 （3） 称为齐次微分方程这里是的连续函数作变量变换 4） 于是 （5） 4）（5）代入（3）则原方程变为 得到 （6） 6）是一个变量分离方程可按的方法求解然后代回原来的变量便得的解化为变量分离方程的 解 将方程改写成 这是齐次方程作变换代入原方程得到 两边积分得 代回原变量得通解此外方程还有解它包含在通解中 2.线性微分方程与常数变易法常数变易法 （7） 在考虑的区间上是的连续函数若7）变为 （8） （8）称为一阶齐次线性微分方程(7)称为一阶非齐次线性（8）是变量分离方程它的通解为 (9) 这里是任意常数 通解的求法 是的特殊情形可以设想在中将常数变的待定函 数.令 微分之得到 (11) (10)(11)代入(7)得 即 积分后得到 这里是任意常数将上式代入得到方程的通解 我们通常称为常数变易法常数变易法实际上也是一种变量变换的方法通过变换可将方程化为变量分离方程 形式可以将看作是的函数再看是否为形式常数变易法 解 首先求线性齐次方程的通解分离变量得 两边积分化简后得到 为此在上式中把常数变易成待定函数. . 代入原方程得到