惠州市XX年高一数学竞赛试题参考答案.doc

惠州市2008年高一数学竞赛试题参考答案 一、选择题：（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D A B A D C 二、填空题：（每小题5分，共30分） 9、 10、 11、 12、 13、 4015 14、 三、解答题：（共80分） 15．已知向量，其中. （1）求证：； （2）设函数，求的最大值和最小值 解：（1） 所以， （2） 当 16．（本小题12分）已知，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围． 解：，　　　……………………………………2分 令， 由题意知：当时，恒有，　　　……………………………………5分 当时，不满足题意．　　 ……………………………………………………………7分 当时，有，解得：或． ． ……………………………………………………………12分 17．（本小题14分）已知圆点，过点作圆的切线为切点． （1）求所在直线的方程； （2）求切线长； （3）求直线的方程． 解：①设切线的斜率为， 切线方程为，即又C（1，2），半经 由点到直线的距离公式得：，解之得：或． 故所求切线PA、PB的方程分别为：．……………………4分 ②连结AC、PC，则 AC⊥PA，在三角形APC中 ． ……………………………………………………………8分 ③解法1：设，则． 因AC⊥AP，所以，． ． ， ………………………………………………………… 10分 上式化简为：． 同理可得：． ………………………………………………………… 12分 因为A、B两点的坐标都满足方程． 所以直线AB的方程为． …………………………………………………14分 解法2：因为A、B两点在以CP为直经的圆上．CP的中点坐标为（），又 所以以CP为直经的圆的方程为： ， 又圆C的一般方程为，两式相减得直线AB的直线方程： ． …………………………………………………………………………14分 18．（本小题14分）右图是一个直三棱柱以为底面被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知设点是AB的中点，证明：OC平面B1C1； （2）证明BC⊥AC，求二面角BAC—A1的大小； 求此几何体的体积交于，连． 则． 因为是的中点， 所以． 则是平行四边形，因此有． 平面且平面， 则面．……………………………………4分 （2）如图，过B作截面面，分别交，于，． 作于，连． 因为面，所以，则平面． 又因为，，． 所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角． 因为，所以，故， 即：所求二面角的大小为． ……………………………………………………9分 （3）因为，所以． ． 所求几何体体积为． …………………………14分 19．（本小题14分）已知一次函数与二次函数，满足，且 （1）求证：函数的图象有两个不同的交点A,B； （2）设A1,B1是A,B两点在x轴上的射影,求线段A1B1长的取值范围； （3）求证：当时,恒成立. 解：（1）由，………… 2分 则 ………………………………………………………………… 4分 函数的图象有两个不同的交点A,B； ---5分 （2）由，则： ， ……………………………………………… 7分 又因为 ， …………………………………………… 9分 （3）设的两根为满足， 则， …………………………………………………………………… 10分 又的对称轴为：于是， ， 由此得：当时， ………………………………………… 12分 又上为单调递减函数，于是， 即当恒成立． ……………………………………………… 14分 20．（本小题14分）设为自然数，已知 ，，求． 解：由题设有：，即 所以 ⑴ ……………………………………………… 5分 当为奇数时， 将上列各式的值代入⑴中得： 消去，得：． 解得从而 故得： ………………………………………………… 11分 当为偶数时，， 同①可得方程：这时无整数解， 故 …………………………………………………………14分 / 八闽知源网 八闽知源网-助教，小教，中考，高考，命题，试题，模拟，专题