毕业论文：复变函数在专业上的应用及系统稳定性的推广.doc

复变函数论文 复变函数在专业上的应用及系统稳定性的推广 姓 名： 董冰 学 号： 093409119 学院(系)： 电气与电子工程系 专业： 电子信息工程 指导教师： 秦志新 评阅人： PAGE 1 复变函数在专业上的应用及系统稳定性的推广 【摘要】： Laplace变换、Z变换是处理信号的两种常用方法，文中介绍了两种变换的应用，并用两种不同的分析方法解决问题，突出不同情况下不同方法的特点。Laplace变换应用于连续信号的分析，Z变换应用于离散信号的分析，以及由此推广到专业软件上的应用，如MATLAB分析信号的频谱特性、稳定性等。最后还由Laplace分析法判断系统的稳定性，同时也指出分析其稳定性重要作用，并通过分析稳定裕量等多种方法判断稳定性，探讨自动控制中Laplace的应用，还有Laplace变换在积分、微分反馈控制器中的应用（PID），使复杂的信号问题简捷化，精确化。 【关键词】：Fourier变换，Laplace变换，Z变换 【正文】： 提出问题： 复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当他引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。 随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。当然复变函数在电子信息方面的应用也更大的加快了电信业的发展，信息处理与转换也更加离不开一套有效的处理方法。但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。 分析问题： 虽然Fourier变换的应用是有一定范围的，但是下面介绍了一些例子，我们从中可以看到，Laplace变换与Z变换填补了Fourier变换的不足之处，究竟其有什么好处，看下面例题。 例1 描述某因果连续LTI系统的微分方程 已知,,求解 零输入响应 零状态响应 冲击响应 解：法一 （1）系统的特征方程为 解特征方程，的特征方程的根为 故设系统的零输入响应为 带入初始状态，的值，有 解得k1=2,k2=-1,因此零输入响应为 （2）根据系统的冲击响应h(t)的定义，当时，y(t)即为h（t），即原微分方程为： 由于微分方程的特征根s1=-2,s2=-5,且nm，因此冲击响应h(t)的形式为 式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程得 解得A=-1/3，B=7/3，因此可得系数的冲击响应为 （3）零状态响应 法二： 解：（1）对微分方程两边做单边拉氏变换，得 整理后，可得 零输入响应的s域表达式为 对上式进行拉斯反变换，得 （2）零状态响应的s域表达式为 （3）根据系统函数的定义，可得 进行拉斯反变换，即得 从上面两种解题方法可已看出，后者明显的比第一种方法要简单，无论是从解题的过程还是思路，都有其简单的地方，并且还摆脱了繁杂的步骤，从而使时域的分析转化到了频域，对于解决信号的分析与频谱的分析都提供了简单的途径，也为以后的各种分析奠定了基础。 例2 描述某离散LTI系统的差分方程描述为， 已知，,q求解 （1）冲击响应 (2)零输入相应 （3）零状态响应 解:法一 （1）根据单位脉冲响应的定义，它应满足方程 该系统为二阶系统，需要两个等效初始条件。在上面差分方程中分别k=0和k=1,可得等效初始条件为 差分方程的特征根,因此可设，将等效初始条件h[0]=1,h[1]=-3代入其中，可求出待定系数， 所以 （2）根据特征根可设零输入响应为，k0,代入初始状态，，可求出待定系数， 所以 （3）系统的零状态响应为 法二 对差分方程两边做单边Z变换，得 零输入响应的Z域表达式为 进行Z反变换，得 零状态响应的Z域表达式为 进行z反变换，得 由差分方程可看出 进行Z反变换，得 仿照第一题，时域分析不仅有连续信号，还有离散的信号。连续的信号分析可以有时域向频域经Laplace变换解决，同理，离散的信号也有其解决问题的方法。 由上面两种解题方法可以看出，法二明显的比法一要简单，并且解题的思路简便，利用了Z变换的，使时域的离散信号巧妙地用Z变换转换到复频域进行了解题，使步骤和方法都简化了，便于把握问题的关键，并且思路清晰了很多。 推广应用： 傅里叶表达式中的加权系数称为信号的频谱，并且时域信号与其对应的频域之间构成一一对应的关系。信号的傅里叶表达揭示了信号的时