毕业论文：微分中值定理的推广及应用.doc

微分中值定理的推广及应用 摘要：微分中值定理是微分学的基本定理，在高等数学解题中有着广泛的应用，本文将给出经过推广以后的广义微分中值定理，并通过多种方法对其证明，把微分中值定理中的闭区间推广到无限；开区间推广到无限区间；在证明过程中，通过引进参数函数将广义微分中值定理中的无限区间转化为有限区间，然后再利用微分中值定理的结论对其证明，从而达到证明无限区间上广义微分中值定理的目的。最后通过几个例子来说明广义微分中值定理在实际解题中的应用。 关键词：微分中值定理 推广 应用 一、引言 广义微分中值定理包括广义Rolle定理，广义形式Lagrange pge定理，广义Cauch中值定理。在广义微分中值定理的证明过程中，我对每个定理的证明都给出了两种证明方法，虽然这两种方法表面看起来大同小异，但它是通过引进不同的参数函数证明所得，尢其在对广义形式Lagrange 中值定理证明中，这两种方法证明出来的结果不相同，但形式相同，这就是为什么我要把Lagrange 中值定理的推广称为广义形式Lagrange 中值定理的缘故。 二、广义微分中值定理 （一）广义Rolle定理 引理1 若函数f(x)在有限区间内可导，且，则至少存在一点，使得 证明 　 　 　 　则由题意可知：在上连续，在内可导，且=Ａ，由Rolle定理，则至少存在一点，使得 F()=0　　 　　　 而时，　　证毕 注意：若将开区间换成半开半闭区间或，同样有，使F()=0，其证明与引理的证明类似。 定理１ 若函数f(x)满足条件： 　　　　?在区间上连续； 　　　　?在区间内可导； 　　　　?； 那么至少存在一点，使得 证法（一） 令，即，当, 令，则，显然g(t)在(0,1)内可导，由引理１可知,至少存在一点(使得g()=0，记，有g()=，而故()=0,即在（a,）内至少有一点，使得()=0， 证毕 证法（二） 取b0max{a,0}, 注意:若将定理1中的区间,则当 定理2 如果函数满足条件： ? 在区间 ? (二)广义形式Lagrange中值定理 证明 作辅助函数F(x),使 则F(x)在上连续,在内可导,由Lagrange中值定理 定理3 如果函数f(x)满足条件: ① ② ③ 定理4 如果函数f(x)满足条件: 注意: 在定理3和定理4的证明过程中,由于作的参数函数不同,最后得到的f()不同。 定理3中x(t) 定理3中x(t) 定理4中 定理4中x(t) 对于同一个命题，由于函数x(t)的不同，而导致了整个命题的结果不同，这说明广义Lagrange定理的结果不唯一，但通过观察可以发现它们都含有一个关于的形式函数F()，且F()0，为此，我们把它称之为广义形式Lagrange中值定理。 我们都知道有限区间的Langrange中值定理可以推导出一些相关的推论，那么无限区间上的广义Langrange中值定理是否也有呢？回答当然是肯定的。 推论1 若函数f(x)在（a，+）上可导，且 (三)广义Cauchy中值定理 引理3 如果函数f(x)和F(x)满足条件： ①都在有限区间(a，b)内可导； ② ③ 定理5 如果函数 f(x) 和 F(x) 满足条件： ①在区间上连续； ②在区间内可导； ③； ④对,有 ； 那么在)?内至少有一点,使得: 证法（一） 令即 当 显然 g(t)，G(t) 在(0,1)内可导,由引理3可知， 在(0,1)内至少有一点，使得 记 即在 证毕 定理6 如果函数f(x)和F(x)满足条件： 1 2 3 由以上证明可以发现：三大广义微分中值定理都是该定理的特殊形式，该定理是广义微分中值的一般形式，为此，我们把该定理称为一般形式的广义微分中值定理。 三、广义微分中值定理的应用 广义微分中值定理在数学分析解题中有着很重要的应用，尤其是在无限区间上证明存在性问题，解决不等式问题等方面有着广泛的应用，下面通过几个例子来说明广义微分中值定理在实际解题中的应用。 设不恒为常数的函数 则在 参考文献： [1] 刘玉琏，数学分析[M]，北京：高等教育出版社，2003. [2] 同济大学应用数学系，高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2002 [3] (日)暂江诚夫，微积分讲解