毕业论文：微分中值定理的证明与应用.doc

微分中值定理的证明与应用 一 中值定理及证明： 极值的概念和可微极值点的必要条件: 定理 ( Fermat ) 设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导，若点为的极值点，则必有 罗尔中值定理：若函数满足如下条件： （i）在闭区间[a，b]上连续；（ii）在开区间（a，b）内可导；（iii）， 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得（ξ）=0。 证明：因为在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。 (ii)若m ＜ M，则因 (a)=(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是的极值点，由条件(ii) 在点ξ处可导，故由费马定理推知=0. 注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。 注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。 例如： 易见，F在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F（2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点 ξ, 满足 注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如： 在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，显然在（-1，1）内存在无限多个 = 使得=0。 2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数 ?满足如下条件：i)?在闭区间[]上连续；ii）?在开区间()内可导；则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 证明此定理要构造辅助函数 ，使得满足罗尔定理的条件（i）-(iii) 且 ，从而推得 证明：作辅助函数 显然，F（a）=F(b)（=0），且F在[a，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点 ξ(a，b)，使得 即 注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特例 注2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，我们在证明中引入的辅助函数，正是曲线 与直线AB,之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新х轴（F（a）=F（b））。 注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。 注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用： 注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：在（a,b）可导可以推出?在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数在（a，b）可导且在a右连续在b左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。 3、拉格朗日中值定理的几个重要推论 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. 证明： 任取两点 （设），在区间 [] 上应用拉格朗日中值定理，存在 ξ（）I，使得 推论2 函数和在区间I上可导且 推论3（导数极限定理）设函数在点的某邻域U（）内连续，在U°（）内可导，且极限存在，则在点可导，且 证明：分别按左右导数来证明上式成立 任取，在[]上满足拉格朗日中值定理条件，则存在 ξ，使得由于＜ξ＜，因此当时随之有ξ→，对上式两边取极限，使得 （2）同理可得因为=存在，所以==，从而即 注1°由推论3可知：在区间I上的导函数在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。 注2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。 推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且 ( 证 ) 二 应用举例: 1可微函数单调性判别法： 1.1 一阶函数与单调性的关系： (1) 设函数在区间内可导. 则在内↗(或↘) 在内 ( 或 ). 证 ) ) 证. (2) 设函数在区间内可导. 则在内↗↗( 或↘↘) ⅰ 对 有 ( 或; ⅱ 在内任子区间上 2 可微极值点判别法: 极值问题: 极值点, 极大值还是极小值, 极值是多少. 2.1 可微极值点的必要