毕业论文：数学中的归纳法.doc

论文提要 所谓数学归纳法，就是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种长用的有效的思维方式. 归纳法的逻辑结构是:设(i=1,2,…,n)是要研讨对象M的特例或子集,若(i=1,2,…,n)具有性质P,则由此猜想M也有可能具有性质P,简记为 : 另一种表达法是: M蕴含, 为真， M也可能真。 若是M的真子集，这时的归纳法称为不完全归纳法。它的结论未必是可靠的，但应用方便并具有发现的功能，如果，这时的归纳法就称为完全归纳法，由于穷尽了被考察对象的一切特例以后才作出结果，因而结论是确凿可靠的。 数学归纳法使将一个无穷的归纳过程，根据归纳公理转化成一个有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程，所以它有证明的功能，它的逻辑结构是: 如 {. 数学归纳法的具体应用时,有许多更为灵活的形式,这一点是宜于注意的. 不完全归纳法仅仅依据同一事实的几次重复作出结论,只是停留在对事物的表面现象的观察上,没有深入地分析产生现象的原因,只有对现象产生的原因有了了解,才会提高结论的可信程度. 人们在长期的科学实践过程中,总结出了确定因果关系的几种逻辑方法:求同法、求异法、求同求异并用法、共变法、剩余法. 数学中的归纳法 王旭 摘 要:所谓数学归纳法，就是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种长用的有效的思维方式. 归纳法在数学中运用十分广泛. 关键词：数学归纳法 数学归纳法的特点 = 1 \* CHINESENUM3 一 归纳法的特点 归纳法是根据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论,超越了前提所包含的内容. 归纳法是依据若干已知的不完尽的现象推断上属未知的现象,因而结论具有猜测的性质. 归纳法的前提是单个事实、特殊情况,所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的. 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的.观察、实验、对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一. 例如多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间有什么关系呢?应该从何处着手来研究这个问题呢?最容易下手的莫过于拿几个多面体来看,具体地数一数它们的面、顶点和棱.于是产生了下面的表: 多 面 体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 立 方 体 6 8 12 三 棱 柱 5 6 9 五 棱 柱 7 10 15 方 锥 5 5 8 三 棱 锥 4 4 6 五 棱 锥 6 6 10 分析这些特例的数据的基础上就可以归纳出一个结论: . 尽管这时还不能认为这个结论是正确的,但是它毕竟为我们提供可一个研究的方向,即根据这个结论再去证实它符合一般多面体的情形. 又如,已知函数,求.显然无法下手直接计算得出结果,最自然的想法乃是先求及等特殊的简单的形式.易得: ; ; 于是,可以自然地归纳出结论: . 有了这个猜测性的结论之后,再去严格证明它. = 2 \* CHINESENUM3 二 求同法 某种被研究的对象,在几种不同的情形下都出现,而在各种情形中只有一个条件是共同的,于是,就可以认为这个条件是被研究现象产生的原因. 它的公式可以表示为: 情形 各种条件 被研究的对象 = 1 \* ROMAN I = 2 \* ROMAN II = 3 \* ROMAN III 可以认为A是a的原因. 两个边长相等的正方形,其中一个正方形某顶点重合于另一个正方形的中心O,