毕业论文：线性方程组理论的有关应用.doc

PAGE 线性方程组理论的有关应用 Applications on theory of linear equations 专 业: 数学与应用数学 作　　者: 指导老师: 学校 二○○ PAGE I 摘 要 本文介绍了线性方程组的一些理论, 在此基础上做了一定的推广, 并讨论了这些重要的理论在高等代数中的具体应用. 关键词: 线性方程组; 行列式; 非零解; 矩阵的秩; 解空间 Abstract In this paper, we introduce some theories of linear equations, popularize some significant theories, and discuss these important theories of algebra in specific applications. Keywords: linear equations; determinant; non-zero solution; rank of matrix; solution space 目 录 TOC \o 1-3 \u 摘 要 PAGEREF _Toc230527808 \h I ABSTRACT PAGEREF _Toc230527809 \h II 0 引言 PAGEREF _Toc230527810 \h 1 1 关于线性方程组的一般理论 PAGEREF _Toc230527811 \h 1 2 线性方程组理论的几个应用 PAGEREF _Toc230527812 \h 2 2.1 齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用 PAGEREF _Toc230527813 \h 2 2.2 齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用 PAGEREF _Toc230527814 \h 5 2.3 线性方程组理论在解析几何中的应用 PAGEREF _Toc230527815 \h 7 参考文献 PAGEREF _Toc230527816 \h 11 PAGE 第 PAGE 11页, 共11页 0 引言 目前, 新的中学教材已初步渗透了高等数学的一些知识理论, 而利用这些知识理论来解决初等数学问题显得既简洁又优美. 本文针对中学数学中由几个结构相似且具有共同字母或数字的等式联系在一起的若干变量之间的相互关系问题,结合高等代数中有关齐次线性方程组的理论, 从而有助于问题迅速的得以转化和解决. 同时将线性方程组理论应用于解析几何, 沟通了代数与几何的内在联系, 并可透视代数与几何的相互渗透, 也可使许多几何问题得到更为简明的刻画. 关于线性方程组的一般理论, 可参看文献[1-3,8-11], 一些专题研究可参看文献[4-7]. 1 关于线性方程组的一般理论 在这一节, 我们回顾《高等代数》中关于线性方程组的一般理论. 对于任一个矩阵, 我们用表示的转置, 表示的秩, 表示自由未知量的个数, 表示的维数. 并且我们知道在经典的《高等代数》的教材中, 有以下关于线性方程组的结果. 定理1.1 含有个未知量个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零. 定理 1.2 设齐次线性方程组 (1.1) 系数矩阵的秩. 且方程组(1.1)的解空间为. 则可以得到下列结论, 这里表示方程组(1.1)解空间的维数． 2 线性方程组理论的几个应用 2.1 齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用 (1) 在求解二元方程组上的应用 利用定理1.1可求解二元方程组, 求解时只需将其中一个变量作为常数即可. 例1 求下面方程组的全部解, 其中方程组为 解 将看成是常数, 则方程组可改写为 , 则有 . 求解得, . 代入方程组求解, 得到, . 故原方程组的全部解为 , . 例2 已知一次函数, 且, , 求的取 值范围. 解 应先找出与, 的关系, 有 , , , 得 这是关于的三元齐次线性方程组, 显然方程组有非零解, 于是 化简为, 所以 因此 . 例3 等差数列的前项和为30, 前2项和为100, 则它的前3项和为 130; 170; 210; 260 解 由等差数列知识, 可设前n项和为，所以, , , 考察以为未知数的方程组 由于该齐次线性方程组有非零解, 因此其系数行列式为0, 于是 即 化简, 得, 所以　　　　　　　 . 故选. 例4 已知, 求证, ,