布莱克-舒尔斯期权定价模型.ppt

第八章　布莱克-舒尔斯期权定价模型 第一节　证券价格的变化过程 一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程 1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。 效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。 如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。 二、布朗运动 （一）标准布朗运动 设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量z在时间 内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征： 特征1： 和 的关系满足（6.1）： （6.1） 其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。 标准布朗运动(2) 特征2：对于任何两个不同时间间隔， 和 的值相互独立。 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得： （6.2） 当?0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动： （6.3） （二）普通布朗运动 我们先引入两个概念：漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动： （6.4） 其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 三、伊藤过程 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式（6.4）得到伊藤过程（Ito Process）： (6.5） 其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。 四、证券价格的变化过程 证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为 的伊藤过程来表示： 两边同除以S得： （6.6） 从（6.6）可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为： 可见， 也具有正态分布特征 (6.7) 例6.1 设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市价为100元，求一周后该股票价格变化值的概率分布。 五、伊藤引理 若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程： （6.8） 由于 （6.9） 根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程： (6.10) 六、证券价格自然对数变化过程 令 ，由于 代入式（6.10）: （6.11） 证券价格对数G遵循普通布朗运动,且： 设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率分布。 例6.3 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等多少？ 第二节 布莱克——舒尔斯期权定价模型 一、布莱克——舒尔斯微分方程 （一）布莱克——舒尔斯微分方程的推导 我们假设证券价格S遵循几何布朗运动： 则： （6.12） 假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则： （6.13）