期权二叉树定价模型.ppt

8.5.2 Delta的计算 以图8-2所示的看涨期权估值为例，该看涨期权的Delta计算如下： 这是因为当股票价格从18变化到22时，期权价格从0变化到1。 在图8-3中，对于第一个时间步，股票价格变动的Delta为： 如果在第一个时间步之后，还有一个向上的运动，则在第二个时间步股票价格变动的Delta为： 如果在第一个时间步之后，还有一个向下的运动，则在第二个时间步股票价格变动的Delta为： 在图8-5中，第一个时间步的Delta为： 在第二个时间步，有两个Delta： 或者 上面的两个例子说明，Delta值随时间而变化。这意味着利用期权和标的股票来保持一个无风险对冲，我们需要定期调整我们所持有的股票数量。 9.6 二叉树模型在实际中的应用 在实际中应用二叉树图方法时，通常将期权有效期分成30或更多的时间步。在每一个时间步，就有一个二叉树股票价格运动。30个时间步意味着最后有31个终端股票价格(terminal stock prices)，并且230即大约10亿个可能的股票价格路径。 从股票价格波动率，可以确定u和d的值。可以有许多种不同的方式做到这一点。 定义Δt为单步时间步长，—种可能就是去设定： 于是，定义一个树图的完整方程式为 ： * 第八讲 期权二叉树定价 8.1 单步二叉树图 8.1.1 二叉树图的构造 问题 假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将可能为$22或$18。假设股票三个月内不付红利。有效期为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21。如何对该期权进行估值？ 思路 根据期权的特性，显然可以用图8-1所示的二叉树图来描述股票和期权的价格运动。 如果能够用这种股票和期权构造一个组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。 构造一个证券组合，该组合包含一个Δ股股票多头头寸和一个看涨期权的空头头寸。是否可有多种构造方法? 由图8-1可知，当股票价格从$20上升到$22时，该证券组合的总价值为22Δ-1；当股票价格从$20下降到$18时，该证券组合的总价值为18Δ。 完全可以选取某个Δ值，使得该组合的终值对在上述两种情况下是相等的。这样，该组合就是一个无风险组合。 由 22Δ—1=18Δ 得 Δ=0.25 是否一定为正? 因此，一个无风险的组合由0.25股股票和一个期权空头构成。通过计算可知，无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。 在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险利率。 假设无风险利率为年率12％。则该组合的现值应为： 4.5e-0.12×0.25=4.3674 股票现在的价格已知为$20。用f表示期权的价格。因此，由 20×0.25－f=4.3674 得 f=0.633 如果期权价格偏离0.633，则将存在套利机会。 8.1.2 一般结论 考虑一个无红利支付的股票，股票价格为S。基于该股票的某个衍生证券的当前价格为f。假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了在T时刻的盈亏状况 。 一个证券组合由Δ股的股票多头和一个衍生证券空头构成。 如果股票价格上升,在有效期末该组合的价值为： 如果股票价格下降，在有效期末该组合的价值为： 当两个价值相等时 即