高精度公选课(奇数).docVIP

一． 答：工程中常用的数值分析方法： 有限元法（FEM） 优点：对于不规则几何区域的适应性好。为求解大型物体的计算带来了方便，并对问题给出了宏观的把握，从而更好地提出解决措施。 缺点：需要采用高阶单元或采用较小尺寸的单元，极大降低分析问题的效率。 有限差分法（FDM）性差。 边界元法（BEM） 优点：可以使求解问题的空间维数降低一阶，从而使计算工作量及其所需计算机容量大大减小。 缺点：需要已知所求解偏微分方程的格林函数基本解，虽然对不少偏微分方程这个基本解已找出，但对Navier-Stokes方程这个非线性偏微分方程，至今尚未找到基本解。 有限分析法（FAM） 优点：有限分析法是80年代初发展起来的一种数值方法，它可以克服高Reynolds数下有限差分法及有限容积法的数值解容易发散或振荡的缺点。 缺点：其计算工作量较大，对计算区域几何形状的适应性也较差。 有限容积法(FVM） 优点：用有限容积法导出的离散方程可以保证具有守恒性（只要界面上的插值方法对位于界面两侧的控制容积式一样的即可），对区域形状的适应性也比有限差分法要好。是目前应用最普遍的一种数值方法。 缺点：有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布。 谱分析法（Spectral method，SM） 优点：可以获得高精度的解，目前只是在比较简单的流动与传热问题中已经应用的比较成功。 缺点：不适宜用于编制通用程序。 数值积分变换法（Integral transformation method，ITM） 优点：计算精度可以较高，降维问题是一个常微分方程，有成熟的数值方法可以采用。 缺点：这种方法不容易形成通用程序，特征值问题的选取有一定的任意性，对非线性强烈的问题，计算工作量比较大。 ：1.重心插clc clear n=15;a=0;b=1; x=-cos((0:n)*pi/n);x=x*(b-a)/2+(b+a)/2;x=x; D=barylag(x,3); D2=D(:,:,2);D1=D(:,:,1);D3=D(:,:,3); I=eye(size(D1));n=n+1; L=D3-diag(x);f=(x.^3-2*x.^2-5*x-3).*exp(x); ye=x.*(1-x).*exp(x); L(1,:)=I(1,:);f(1)=0; L(n,:)=I(n,:);f(n)=0; L(2,:)=D1(1,:);f(2)=1; yy1=L\f; err1=norm(yy1-ye);rerr1=norm(yy1-ye)/norm(ye); L=D3-diag(x);f=(x.^3-2*x.^2-5*x-3).*exp(x); L(n+1,:)=I(1,:);f(n+1)=0; L(n+2,:)=I(n,:);f(n+2)=0; L(n+3,:)=D1(1,:);f(n+3)=1; yy2=L\f; err2=norm(yy2-ye);rerr2=norm(yy2-ye)/norm(ye); err=[err1 err2 ] rerr=[rerr1 rerr2 ] plot(x,ye,-ok,x,yy2,-^b) err =1.0e-13 * 0.6923 0.1765 rerr =1.0e-13 * 0.6796 0.1732 图1.数值解与解析解图形 图2.绝对误差分布图 P2. clc clear N=15; T=4; x=-cos((0:N)*pi/N);x=T*(x+1)/2; D=barylag(x,4); D2=D(:,:,2);D1=D(:,:,1); I=eye(size(D1)); L=D2+D1-2*I; f=(2*x); L(N+1,:)=I(1,:);f(N+1)=0; L(N+2,:)=D1(1,:);f(N+2)=1; y=L\f yy=exp(x)-0.5*exp(-2*x)-x-0.5; err=max(abs(y-yy)) rerr=max(abs(y(2:N+1)-yy(2:N+1))./y(2:N+1)) plot(x,yy,-k,x,y,.k) y1=D1*y; ye1=exp(x)+exp(-2*x)-1; errd1=max(abs(y1-ye1)) rerr1=max(abs(y1(2:N+1)-ye1(2:N+1))./ye1(2:N+1)) figure plot(x,ye1,-k,x,y1,.k) y2=D2*y; ye2=exp(x)-2*exp(-2*x); errd2=max(abs(y1-ye1)) rerr2=max(abs(y2(2:N+1)-ye2(2:N+1))./ye2(2:N+1)) figure plot(x,ye2,-k,x,y2,