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{PAGE} 哈 工 程 大 学 数 学 实 验 电 子 教 案 最佳分数近似值 在“怎样计算Pi?”的实验中，我们看到，祖冲之将Pi计算到3.141596与3.1415927之间，但是实际上，祖冲之并没有使用小数，他算出的圆周率是22/7（密率）、355/113（约率），看看这两个分数与圆周率的实际误差有多大？ 可以看出，分数355/113几乎与Pi足够接近，而22/7虽然差一些，但它所用的分数却更简单。 实际上，对任何一个无理数a，都可用一个分数p/q来作为a的近似值，其近似计算的好坏可用Δ=|a-p/q|的大小来衡量， Δ越小，说明这个近似值越高。 那么，什么是分数对无理数的最佳分数逼近呢？ 分数对无理数的最佳分数逼近定义如下： 练习：让分母q依次取遍1到1000的所有自然数，对每个分母q，取p=[q*Pi+0.5]得到一个最接近Pi的分数p/q，并将所有的这样的分数列出来，同时列出与Pi的误差。 Mathematica程序如下： 可见，在1到1000之内，在给定的近似误差下，最好的一个分数近似值就是祖冲之所找到的密率355/113。 实数的连分数展开 称如下分数： 为连分数。 那么，给定一个实数a，是否能够将a表示成一个连分数，如果能够，那么从某一项i开始截断此连分数 则它可作为a的近似值 下面是利用连分数求Pi的近似值的例子： 因此，下面的分数都是Pi在某个误差下的最佳分数近似值。 可以看出，利用连分数的方法求最佳分数逼近，很容易使用计算机实现，下面看看用mathematica怎样编写。 下面是mathematica源程序： 课后作业:试完善此程序,对任何的实数a,求出其最佳分数近似值. 哈 工 程 大 学 数 学 实 验 电 子 教 案