第2章 矩量法.ppt

矩 量 法 矩量法 * 根据线性空间的理论，N个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程、积分方程都属于希尔伯特空间中的算子方程，这类算子可化为矩阵方程求解。 设有算子方程： 式中L为算子，可以是微分方程、差分方程或积分方程；g是已知函数如激励源；f为未知函数如电流。 §2.1 矩量法原理 假定上述方程的解存在且是唯一的，则有逆算子 的存在，使 成立。 互为逆算子。 算子L的定义域为算子作用于其上的函数f的集合。算子L的值域为算子在其定义域上运算而得的函数g的集合。 内积：在希尔伯特空间H中两个元素f和g的内积是一个标量（实数或复数），记为，内积的运算满足下面的关系： 对于所有算子L定义域中的f，若有下面的关系成立 ： 则 称为L的伴随算子。若，则L叫做自伴算子。且有： 矩量法 假设有一算子方程为第一类Fredholm积分方程： 式中 为核， 为已知函数， 为未知函数。 ①首先用线性的独立的函数来近似表示未知函数 由于是用近似式表示，故有误差，为： 其中 为待定系数（可为复数）， 为算子域内的基函数，N为正整数。代入上式并整理得： 称为残数 ②现选取检验函数 ，将上表示式两端与检验函数求内积： 若令残数矢量对检验函数的内积为零： 这就意味着 正交。随着N的增加，误差也趋于最小。矩量法是一种使误差化为最小的方法。 ③内积，则可写出下列矩阵方程： 式中 ④求解上矩阵方程。 对于电磁场问题，算子方程： 1.设基函数为Jn (n=1,2,…N)，则有： 基函数有全域基和子域基。 3.代入第一式，并利用其线性特性： 2.权函数为Wm（m=1,2,…N）； 用权函数对上式两边取内积（内积为两矢量的点积在表面积分所得到的标量）： 4.矩阵方程为： 广义阻抗矩阵 广义电流 广义电压 用求逆方法求解，可利用Z的对称性，以节省计算时间： §2.2 基函数与检验函数的选择 1．基函数： 对于给定问题，选取的基函数越接近实际解，则方程组的要求越简单，计算量越小，收敛越快。 在天线问题中，基函数Jn越接近于辐射体上的实际电流分布，那么方程组的收敛性越好，计算量越少，而且在某些条件下，阻抗矩阵的条件(稳定性)就越好。 基函数的选择对阻抗矩阵的稳定性有显著的影响。 基函数有两大类： 第一类是全域基函数(整域基函数)，即在整个定义域内定义基函数。 第二类是子域基函数(分域基函数)，它在定义域内的一部分定义，而在其它部分定义域内为零。 1) 全域基函数 在J所及的整个定义域内定义并为非零的基函数Jn，则J为全域基函数 式中In 是待定系数。 优点：收敛快。 缺点：未知函数的特性往往事先并不了解或很难用一个函数在全域上描述它，因此无法选择合适的全域基函数。有时即使找到了合适的全域基函数，由于算子本身很复杂，同时求内积运算会使积分变得更复杂，大大的增加了计算量。 常见的全域基函数有： 付里叶级数： 幂级数 ： 切比雪夫： 勒让德： 多项式： 对称振子的电流分布接近正弦分布： 2) 子域基函数 在J所及的域内存在但在该域的部分地方为零的基函数Jn，则J为子域基函数 此方法适合于分段处理 ，即用N个线段来逼近 。 优点：简单、灵活，不受未知函数特性的约束，使用方便。 缺点：收敛比效慢，欲得到同全域基一样的精度，需要更多的分段数目。 常见的子域基函数有： 分段均匀函数（脉冲函数）： 三角波函数： 分段正弦： 二次插值法： 正弦插值法： 对于一般的线天线，最重要的分域基近似是分段常数近似，分段线性近似与分段正弦近似，其中后两种近似有可能使构成的基函数在广义导线的终端及连接连接处自动满足连续性方程。 对于三角形函数，为得到精度适宜的电流分布结果，这种展开在一个波长的长度上约需十个未知量。 对于正弦函数近似，在一个波长的长度上需四个未知数（匹配点）。 2．检验函数 检验函数的选取： 点匹配法： Wm = δ(sm) 伽略金法： Wm = Jm 最小二乘法： Wm = Lop(J) 注意：点匹配法有全域基点匹配法、脉冲基点匹配、分段基点匹配。 伽略金法： 当检验函数的选择与基函数相同时，该表示法称为伽略金法。即： 则阻抗矩阵与电压矩阵分别为： 其内积为感应量