7.斯托克斯公式.ppt

曲线积分与曲面积分 二、物理意义---环流量与旋度 小结 * 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节 二、环流量与旋度 一、斯托克斯公式 *三、空间曲线积分与路径无关的条件 *四、向量微分算子 (Stokes formula) (Circulate and Rotation) 五、小结 一、斯托克斯(stokes)公式 斯托克斯公式 下页 返回 上页 是有向曲面 的 正向边界曲线 右手法则 证明 如图 下页 返回 上页 思路 曲面积分 二重积分 曲线积分 1 2 下页 返回 上页 1 下页 返回 上页 根椐格林公式 平面有向曲线 2 空间有向曲线 下页 返回 上页 同理可证 故有结论成立. 下页 返回 上页 另一种形式 便于记忆形式 下页 返回 上页 Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. 斯托克斯公式 格林公式 特殊情形 下页 返回 上页 解 按斯托克斯公式, 有 下页 返回 上页 下页 返回 上页 解 则 下页 返回 上页 即 下页 返回 上页 与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算 解: 设?为平面 z = y 上被 ? 所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 例3. ? 为柱面 下页 返回 上页 1. 环流量的定义: 下页 返回 上页 利用stokes公式, 有 2. 旋度的定义: 下页 返回 上页 下页 返回 上页 斯托克斯公式的又一种形式 其中 下页 返回 上页 斯托克斯公式的向量形式 其中 下页 返回 上页 Stokes公式的物理解释: 下页 返回 上页 解 由力学知道点 的线速度为 观察旋度 由此可看出旋度与旋转角速度的关系. 下页 返回 上页 的外法向量, 计算 解: 例5. 设 下页 返回 上页 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 ?, 有 (2) 对G内任一分段光滑曲线 ?, 与路径无关 (3) 在G内存在某一函数 u, 使 (4) 在G内处处有 下页 返回 上页 证: 由斯托克斯公式可知结论成立; (自证) 设函数 则 下页 返回 上页 同理可证 故有 若(3)成立, 则必有 因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有 同理 证毕 下页 返回 上页 与路径无关, 并求函数 解: 令 ? 积分与路径无关, 因此 例4. 验证曲线积分 下页 返回 上页 四*、向量微分算子 定义向量微分算子: 它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子. 则 下页 返回 上页 则 高斯公式与斯托克斯公式可写成: 下页 返回 上页