第2讲 排列与组合1.docVIP

第2讲　排列与组合 【2013年高考会这样考】 1．考查排列组合的概念及其公式的推导． 2．考查排列组合的应用． 【复习指导】 复习时要掌握好基本计算公式和基本解题指导思想，掌握一些排列组合的基本模式题的解决方法，如指标分配问题、均匀分组问题、双重元素问题、涂色问题、相邻或不相邻问题等． 基础梳理 1．排列 (1)排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． (3)排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)． (4)全排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)． 2．组合 (1)组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C表示． (3)组合数公式 C＝＝＝ (n，mN*，且m≤n)．特别地C＝1. (4)组合数的性质：C＝C；C＝C＋C. 一个区别 排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合． 两个公式 (1)排列数公式A＝ (2)组合数公式C＝利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数． 解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”． 要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果． 四字口诀 求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．” 双基自测 1．8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有(　　)．A．360种 B．4 320种 C．720种 D．2 160种 解析　本题考查排列组合知识，可分步完成，先从8个数字中取出3个连续的三个数字共有6种可能，将指定的3名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩下的5个排在其他的编号的5个跑道上，故共有6AA＝4 320种方式． 答案　B 2．以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有(　　)． A．200个 B．190个 C．185个 D．180个 解析　正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C＝210个四面体．其中四点在同一平面内的有三类： (1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2C个． (2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有C个． (3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行 (例如ABE1C1)，这样共面的四点共有2C个． 所以C－2C－C－2C＝180(个)，选D. 答案　D 3．(2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)． A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 解析　因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有A＝24种排法，当甲排在第二位时，有A·A＝18种排法，所以共有方案24＋18＝42(种)，故选B. 答案　B 1 2 3 3 1 2 2 3 1 4.如图，将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有(　　)． A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 解析　只需要填写第一行第一列，其余即确定了．因此共有AA＝12(种)． 答案　B 5．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)． 解析　可将6项工程分别用甲、乙、丙、丁、a、b表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b五个元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、丙丁