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4. 范德瓦耳斯方程的一般形式 系统的内能是指气体分子各种运动方式的动能和分子内原子间振动势能的总和。 三、理想气体的内能 若分子的平动自由度为t，转动自由度为r，振动自由度为s，则分子的平均能量为： 说明： 理想气体的内能只是分子自由度和系统温度的函数， 而与系统的体积和压强无关。 状态从T1→T2,不论经过什么过程，内能变化为 气体质量为m，气体摩尔质量为M，则理想气体的内能为： 麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879) 19世纪伟大的英国物理学家、数学家。经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。 他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，预言了以光速传播的电磁波的存在。 1873年，他的《电磁学通论》问世，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。 在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率分布的统计规律。 麦克斯韦速率分布律 气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律 ——气体速率分布律。 气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律。 一、测定气体分子速率的实验 1、实验装置 2、实验结果 分子数在总分子数中所占的比率与速率和速率间隔的大小有关； 在某一速率附近的分子数的比率最大；速率特别大和特别小的分子数的比率非常小； 改变气体的种类或气体的温度时，上述分布情况有所差别，但都具有上述特点。 分子速率分布图 : 分子总数 : 间的分子数. 表示速率在 区间的分子数占总数的百分比 . 麦克斯韦分子速率分布曲线 面积= dNv/N vp v v+dv f(v) v f(vp) 宽度dv 二、麦克斯韦气体分子速率分布律 1、速率分布函数 速率分布函数的定义： 一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区间 v～v+dv内的分子数， dN/N表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率。 速率分布函数 比值dN /(Ndv)表示: 在速率v附近，处于单位 速率间隔内的分子数在分子总数中所占的比率。 麦克斯韦指出，对于处于平衡态的给定气体系统， dN /(Ndv)是v的确定函数，用 f (v) 表示， 物理意义： 速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数的概率。 表示速率分布在v→v+dv内的分子数占总分子数的概率 表示速率分布在v1→v2内的分子数占总分子数的概率 速率分布曲线 归一化条件 2、麦克斯韦速率分布律 在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分子速率的分布函数为 m：分子的质量 T：热力学温度 k：玻耳兹曼常量 麦克斯韦 速率分布函数 定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最概然速率。 物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率最大。 vP的值： 三、三种统计速率 1、最概然速率 讨论 vp 随 T 升高而增大，随m 增大而减小。 m 2 m 1 T 1 T 2 2、平均速率 定义： 大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。 计算： 3、方均根速率 定义： 大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。 计算： 例：有10个粒子，其速率分别是1，3，5，7， 8，9，10，11，13，15ms-1，计算它们的平均速率和方均根速率。 解：平均速率： 方均根速率： 麦克斯韦分子速率分布曲线的意义 由图中可以看出: f(v) v f(vp) 300K 1200K 当温度升高时曲线峰值右移变得较平坦。 计算分子平动动能 研究分子碰撞 讨论速率分布 都含有统计的平均意义，反映大量分子作热运动的统计规律。 说明下列各量的物理意义： —— 分布在速率 v 到 v ~ v + d v速率区间内的分子数。 —— 单位体积内分子速率分布在速率 v 到 v ~ v + d v速率区 间内的分子数。 解： —— 分布在速率 v 到 v ~v + d v 速率区间内的分子数占总分 子数的比率。 —— 分布在有限速率区间v1 ~ v2 内的分子数占总分子数的比率。 —— 分布在有限速率区间 v1 ~v2 内的分子数。 ——