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第七章 自 旋 第七章 目 录 §7.1 电子自旋存在的实验事实 3 （1）Stern-Gerlach实验（1922年） 3 （2）电子自旋存在的其他证据 4 §7.2 自旋－微观客体的一个动力学变量 5 （1）电子的自旋算符和它的矩阵表示 5 （2）考虑自旋后，状态和力学量的描述 9 （3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程 13 §7.3 碱金属的双线结构 14 （1）总角动量 14 （2）碱金属的双线结构 19 §7.4 两自旋为1/2的粒子的自旋波函数 20 (1) 表象中两自旋为的粒子的自旋波函数 20 (2) 表象中两自旋为的粒子的自旋波函数 20 (3) Bell基 22 §7.5 Einstein-Podolsky-Rosen佯谬和Bell不等式 22 (1) Einstein-Podolsky-Rosen佯谬 22 (2) Bell Inqualities 23 §7.6 全同粒子交换不变性－波函数具有确定的置换对称性 27 (1)交换不变性 27 (2)全同粒子的波函数结构，泡利原理 29 (3)全同粒子的交换不变性的后果 32 第七章 自旋 在较强的磁场下（∽），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它 但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度来描述并不是完全的。 我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固有的。 当然，自旋是Dirac电子的相对论性理论的自然结果。现在我们从实验事实来引入。 §7.1 电子自旋存在的实验事实 （1）Stern-Gerlach实验（1922年） 当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩，那在磁场中的附加能量为 如果经过的路径上，磁场在方向上有梯度，即不均匀，则受力 从经典观点看取值（从）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值 — 所以原子分裂成一个带。 但Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。而人们知道，银原子（）基态，所以没有轨道磁矩，而分成二个状态（二个轨道），表明存在磁矩，而这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。这磁矩既然不是由于轨道运动产生的，因此，只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩，与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。 （2）电子自旋存在的其他证据 A．碱金属光谱的双线结构 钠原子光谱中有一谱线，波长为5893?，但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成。 ? ? 这一事实，从电子仅具有三个自由度是无法解释的。 B．反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect） 原子序数为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶（如钠和的两条光谱线，在弱磁场中分裂为条和条）。这种现象称为反常塞曼效应。不引入电子自旋也是不能解释的。 C．在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为，而是。对于不同能级，可能不同，而不是简单为 (称因子)。 根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck（乌伦贝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假设 ① 电子具有自旋，并且有内禀磁矩，它们有关系 ② 电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值 ，所以 以为单位，则（而） 自旋的回磁比为 现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。考虑到辐射修正 §7.2 自旋－微观客体的一个动力学变量 既然电子有自旋，这表明描述电子运动的变量就不能仅取，还应有第四个变量，相应算符为。 （1）电子的自旋算符和它的矩阵表示 由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩 所以，自旋这个动力学变量是具有角动量性质的量，当然它又不同于轨道角动量（仅取二个值，）。对于这样一个力学量，当然仍应用线性厄密算符来表征它。于是我们假设：自旋算符有三个分量，并满足角动量所具有的对易关系。 对易关系 B. 由于它在任意方向上的分量测量仅取二个数值, ，所以 于是 是一常数 矩阵形式 由于其分量仅取二个数值，也即本征值有二个，所以可用矩阵表示。 1．若选作为力学量完全集，即取表象，那在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值 相应的本征矢 其对应的表示为， 2．在表象中的矩阵表示 我们知道，这只要将作用于的基矢并以基矢展开，从展开系数来获得 由 因此 由 即 同理可得 得系数矩阵为转置得 而