用正交变换化二次型成标准形.docVIP

§6用配方法化二次成标准形 用正交变换化二次型成标准形,具有保持几何形状不变的优点.如果不限于用正交变换法,那么还有多种方法对应有多个可逆的线型变幻把二次型化成标准形.这里只介绍拉格朗日配方法.下面举例来说明这种方法 例15 化二次型 成标准形,并求所用的变换矩阵 解 由于中含变量的平方项，故把含的项归并起来，配方可得 上式右端除第一项外已不再含继续配方，可得 令 即 就把化成标准形(规范形)，所用变换矩阵为 ， 例 16 化二次型 成规范形，并求所用的变换矩阵. 解 在中不含平方项。由于含有乘积项，故令 代入可得 在配方，得 令 即 就把化成规范形 所用变换矩阵为 一般地，任何二次型都可用上面两例的方法找到可逆变换，把二次型化成标准形（或规范形）。 §7正定二次型 二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩）。不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正系数十不变的（从而负系数的个数也不变），也就是有 定理9 设有二次型,它的秩为，有两个可逆变换 即 使 即 则 中正数的个数与中正数的个数相等.. 这个定理 称为惯性定理，这里不予证明. 二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数.若二次型的正惯性指数为秩为则的规范形便可确定为 科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为或负惯性指数为的元二次型，我们有下述定义. 定义 10 设有二次型如果对任何,都有（显然，则称为正定二次型，并称对称阵A是正定的；如果对任何都有,则称为负定二次型，并称对称阵A是负定的. 定理 10 二次型 为正定的充分必要条件是：它的标准形的个系数全为正，即它的正惯性指数等于 证 设可逆变换使 先证充分性.设任给则，故 再证必要性。用反证法。假设有则当（单位坐标向量）时，显然,这与f 为正定相矛盾。这就证明了 推论 对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 定理 11 对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即 对称阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子为负，而偶数阶主子式为正， 即 这个定理称为霍尔维茨定理，这里不予证明。 例17 判定二次型 的正定性。 解的矩阵为 , 根据定理 11 知为负定。 设是二元正定二次型，则(为常数)的图形是以原形为中心的椭圆。当把看作任意常数时则是一族椭圆 。这族椭圆随着而收缩到原点。当为三元定二次型时， 的图形是一族椭球。