正交矩阵的作用.doc

正交矩阵的作用 引言 正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用. 首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义 定义1 n阶实矩阵A，若满足，则称A为正交矩阵. 定义2 n阶实矩阵A，若满足，则称A为正交矩阵. 定义3 n阶实矩阵A，若满足，则称A为正交矩阵. 定义4 n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质 设A为正交矩阵，它有如下的主要性质. 1∣A∣=±1，A-1存在，并且A-1也为正交矩阵； 2A′，A*也是正交矩阵； 当∣A∣=1时，，即； 当∣A∣=-1时,,即. 3若也是正交矩阵，则都为正交 矩阵. 证明 1显然 所以也是正交矩阵. 2，显然为正交矩阵. 由 ， 当 时，，即 当 时，，即 所以为正交矩阵. 3由 ， 可知 故为正交矩阵.由1,2推知均为正交矩阵. 正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果是它的特征值，那么也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了. 运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用. 二.正交矩阵的作用 （一）正交矩阵在线性代数中的作用 在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法. 设向量 ，令， ，则称阶矩阵 为初等旋转矩阵. 初等旋转矩阵，是由向量的第两个元素定义的，与单位矩阵只在第行和第列相应的四个元素上有差别. 设是由向量定义的初等旋转矩阵，则有如下的性质： 〈1〉是正交矩阵； 〈2〉设 则有 ； 〈3〉用左乘任一矩阵A，A只改变A的第行和行元 素（用右乘任一矩阵A，A只改变A的第列和列元素）. 证明 〈1〉，故，是正交矩阵. 〈2〉由的定义知，用左乘向量，只改变的第两个元素，且 所以左乘，使的第个分量非负，第个分量为0，其余分量不变. 〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论. 引理1 任何阶实非奇异矩阵，可通过左连乘 初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的. 定理1 设是阶正交矩阵 若，则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积， 即； 若，则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵，即，其中（i=1,2,…r）是初等旋转矩阵. 证明 由于是阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵使这里是阶上三角阵，而且的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有 （1） 由是正交矩阵和（1）式得 即 （2） 设 =其中，0(i=1,2,…n-1) 则= 由上式得 所以 　　　　　　　　　　　　　　（３） 于是由（1）（3）式得 1当时，； 2当时， . 记，是初等旋转矩阵，故定理1结论成立. 引理2 设其中是 阶正交矩阵，是阶上三角阵，是零矩阵. 利用以上的结论可得： 定理2 设，则可以通过左连乘初 等旋转矩阵，把变为的形式，其中是阶上三角阵，是矩阵. 证明　由引理2知，其中是阶正交矩阵，是阶上三角阵，又根据定理1知： 其中 是初等旋转矩阵. 1当时， 2当时， 于是有 显然，是阶上三角阵，当时与除最后一行对应元 素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时时， ，所以由1、２知本定理的结论成立. 设，，……， 是欧氏空间的子空间的一组基，记 是秩为的的矩阵. 若满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵，使　　　　　　　　　　　 （４） 且 　　　　　 （５） 由（４）（５）两式知，对、做同样的旋转变换，在把化为的同时，就将化成了，而的前个列向量属于子空间. 综上所述可得化欧氏空间的子空间的一组基：为一组标准正交基的方法为： 1由已知基为列向量构成矩阵； ２对矩阵施行初等旋转变换，化为，同时就被化为正交矩阵，这里是阶上三角阵； ３取的前个列向量便可得的一组标准正交基. 显然，上述方法是求子空间的一组标准正交基的另一种方法. 下面