带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线(hao ).docVIP

带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线 陈升科 高中物理中介绍了速度选择器，速度选择器两极板间有正交的匀强电场和匀强磁场，带电粒子在速度选择器中的运动实际上是在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动．带电粒子垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，且速度大小等于电场强度Ｅ跟磁感强度Ｂ之比（Ｅ／Ｂ）（称（Ｅ／Ｂ）为选择速度，用ｖｅｂ表示），将做匀速直线运动．如果带电粒子的速度大小不等于选择速度或偏离垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，将做什么运动，其运动轨迹怎样? 　一、带电粒子在正交的匀强电磁场中的运动方程 　设空间有正交的匀强电场和匀强磁场（下称电磁场），电场强度矢量和磁感强度矢量分别为Ｅ＝Ｅｊ，Ｂ＝Ｂｋ． 　有一个电量为ｑ、质量为ｍ的带电粒子从坐标原点以初速ｖ０射入电磁场中．初速度矢量为ｖ０＝ｖ０ｘｉ＋ｖ０ｙｊ＋ｖ０ｚｋ，带电粒子射入电磁场后，在某时刻的速度矢量为ｖ＝ｖｘｉ＋ｖｙｊ＋ｖｚｋ． 带电粒子在此时刻受到的电场力矢量为Ｆ＝ｑＥ＝ｑＥｊ，受到的磁场力（洛伦兹力）矢量为 ｆ＝ｑｖ×Ｂ＝ｑ　?　 ｉ　　　ｊ　　　ｋ? 　　　　　　　　　　　　　 ｖｘ　　ｖｙ　　ｖｚ　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 0　　　　0　　　Ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　＝ｑｖｙＢｉ－ｑｖｘＢｊ．带电粒子在电磁场中的动力学方程为　　　　Ｆ＋ｆ＝ｍ．动力学方程的三个分量式分别为　　ｍｘ＝ｑＢｖｙ，　　　　　　　ｍｙ＝ｑＥ－ｑＢｖｘ，　　　　ｍｚ＝0．　　令ω＝（ｑＢ）／ｍ，由方程得　　ｖｙ＝（1／ω）ｘ．　　　　　　式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向分量　　ｙ＝（1／ω）ｘ．将上式代入式，并令ｕｘ＝ｖｘ－（Ｅ／Ｂ）＝ｖｘ－ｖｅｂ，得　ｘ＋ω２ｕｘ＝0．此微分方程的通解是　　ｕｘ＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ），它可改写为　ｖｘ＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋ｖｅｂ．　　　　⑤式对时间ｔ微分得带电粒子在电磁场中运动时的加速度的ｘ方向的分量　　　ｘ＝Ａωｓｉｎ（ωｔ＋φ），　　　　　　　　　　　将式代入式得速度的ｙ方向的分量　　　　ｖｙ＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ），　　　　　　　　　　　　⑦式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向的分量　　　　ｙ＝Ａωｃｏｓ（ωｔ＋φ），　　　　　　　　　　　③式对时间ｔ积分得速度的ｚ方向的分量　　　ｖｚ＝Ｃ３．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤、、式分别对时间ｔ积分得带电粒子在电磁场中运动的运动学方程的三个分量　　　ｘ＝－（Ａ／ω）ｓｉｎ（ωｔ＋φ）＋ｖｅｂｔ＋Ｃ１，　　　　　ｙ＝－（Ａ／ω）ｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋Ｃ２，　　　　　　　ｚ＝Ｃ３ｔ＋Ｃ４．　　　　　　　　　　　　以上三式中Ａ、φ、Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３和Ｃ４均为积分常数，可用带电粒子射入电磁场时的初始条件确定．　　由、两式得，带电粒子初始加速度在ｘ方向和ｙ方向的分量分别为　　０ｘ＝（ｑＢｖ０ｙ）／ｍ＝ωｖ０ｙ，　　０ｙ＝（ｑＥ－ｑＢｖ０ｘ）／ｍ＝ωｖｅｂ－ωｖ０ｘ．　　将以上两式分别代入、两式得　　　Ａｓｉｎφ＝ｖ０ｙ，　　　Ａｃｏｓφ＝ｖｅｂ－ｖ０ｘ，　　解得积分常数 Ａ＝．　　　　　　　　　　 　　A的大小等于带电粒子的初速度沿ｘ方向以选择速度ｖｅｂ做匀速直线运动的相对速度的大小．称（Ａ／ω）为“幅”，称积分常数φ为初相，它有三种情况　　若ｖ０ｘ＜ｖｅｂ，φ＝ｔｇ－１[ｖ０ｙ/（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）]，　　若ｖ０ｘ＝ｖｅｂ，ｖ０ｙ＞0，φ＝（π／2），　　　　ｖ０ｙ＜0，φ＝－（π／2），　　若ｖ０ｘ＞ｖｅｂ，φ＝π＋ｔｇ－１[ｖ０ｙ／（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）．　　　　　将带电粒子初速度分量ｖ０ｚ代入式得积分常数　　Ｃ３＝ｖ０ｚ．　　将带电粒子射入电磁场时的初始坐标　　　　ｘ＝0，ｙ＝0，ｚ＝0．代入三式得积分常数　　C１＝ｖ０ｙ／ω，　　C２＝（Ａ／ω）ｃｏｓφ＝（1／ω）（ｖｅｂ－ｖ０ｘ），　　Ｃ４＝0．　　带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中运动的运动学方程为　　ｘ＝ｖｅｂｔ＋（ｖ０ｙ／ω）－（Ａ／ω）ｓｉｎ（ωｔ＋φ），　　ｙ＝（1／ω）（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）－（Ａ／ω）ｃｏｓ（ωｔ＋φ），　　ｚ＝ｖ０ｚｔ．　　式中的A和φ由、两式确定．　　带正电的粒子原先静止在坐标原点，在电场力和磁场力作用下开始运动，带电粒子初速度的三个分量都为零．由、式得　　　　Ａ＝ｖｅｂ，φ＝0．　　带电粒子运动轨迹的三个参量方程为　　　　ｘ＝ｖｅｂｔ－（ｖｅｂ／ω）ｓｉｎωｔ，　　　　ｙ＝（ｖｅｂ／ω）（1－ｃｏｓωｔ），