[高等代数(下)课外习题 第九章 欧氏空间].docVIP

第九章 欧氏空间 一、判断题 1、是维欧氏空间的一组基，矩阵，其中，则A是正定矩阵。( ) 2、设是一个欧氏空间，，并且，则与正交。( ) 3、设是一个欧氏空间，,并且，则线性无关。( ) 4、n维Euclid空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ） 5、若T 是正交变换，则T保持向量的内积不变 （ ） 6、度量矩阵是正定的 （ ） 7、正交矩阵的行列式等于1 （ ） 8、欧氏空间上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 9、设与都是阶正交矩阵，则也是正交矩阵。 10、在欧氏空间中，若向量与自身正交，则.( ) 11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( ) 12、若矩阵为正交矩阵，则.( ) 13、设是维欧氏空间的正交变换，则在的任意基下的矩阵是正交矩阵.( ) 14、设是维欧氏空间的两个正交子空间，且，则。( ) 15、对称矩阵的任意两个特征向量都正交。( ) 二、填空题 1、在欧氏空间中，向量，，那么＝_________， ＝_________． 2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________． 3、已知是一个正交矩阵，那么＝_________，＝_________． 4、已知三维欧式空间中有一组基，其度量矩阵为，则向量的长度为　　　　　　　　　　。 5、已知A为n阶正交阵，且|A|0，则|A|= . 6、欧氏空间上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为 。 7、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。 8、设,则与的夹角 . 9、若 为正交矩阵，则 ； 10、在维欧氏空间中, 级矩阵是的某个基的度量矩阵的充要条件是 . 三、选择题 1、若线性变换与是（ ），则的象与核都是 的不变子空间。 互逆的 可交换的 不等的 D. 不可换的 2、设是维欧氏空间 ，那么中的元素具有如下性质（ ） ①若； ②若； ③若； ④若。 、欧氏空间中的标准正交基是（ ） ①； ②； ③； ④。 、设是欧氏空间的线性变换，那么是正交变换的充分必要充分条件是（ ） ①保持非零向量的夹角； ②保持内积； ③保持向量的长度； ④把标准正交基映射为标准正交基。 、为阶正交方阵，则 A.为可逆矩阵 B.秩 C. D. 、若两个阶方阵是正交矩阵,则是 ( ) A.对称矩阵 .B.相似矩阵 C.正交矩阵 D. 、下列说法正确的是( ). A.对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交; B.对称矩阵的属于相同特征值的特征向量必不正交; C.对称矩阵的所有特征向量都正交; D. 以上都不对. 、维欧氏空间的标准正交基( ). A.不存在B.存在不唯一;C.存在且唯一;D.不一定存在. 、若是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。 (A) 　(B) (C) 　　　　(D) 10、 若A是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。 (A) 　(B) (C) 　　　　 (D)A的列向量组为单位正交向量组. 四、计算题 1、把向量组，扩充成中的一组标准正交基. 2、设是R3的一个基，用正交化方法求R3的一组标准正交基。 3、 设为的基，且线性变换A在此基下的矩阵为 （1）求A的特征值与特征向量； （2）是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵使得为对角形． 4、已知R3的一组向量(1=(1,0,0),(2=(1,1,0) ,(3=(1,1,1)。 （1）证明(1,(2 ,(3构成R3的一个基； （2）对其施行施密特正交化方法求出R3的一个标准正交基。 5、 已知二次型通过正交变换化为标准形，求的值． 五、证明题 1设，为同级正交矩阵，且，证明：． 2设为半正定矩阵，且，证明：． 设是欧氏空间V的一个基，是V中的向量， 证明 若，则