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* 五. 内积、正交化、正交矩阵. 1.向量的内积、长度、夹角。 2.Schmidt正交化、单位化法。 3.正交矩阵。 1. 向量的内积、长度、夹角 定义1：n维实向量 称 为向量 与 的内积。 若 为行向量，则 向量内积的性质： 线性性 对称性 等号成立当且仅当 正定性 定义2：实数 称为向量的长度（或模，或范数） 若 称 为单位向量。 把向量单位化： 若 则 考虑 即 的模为1，为单位向量，称为把 单位化。 向量长度的性质： （1）非负性： 当 时， 当 时， （2）齐次性： （3）柯西—施瓦兹不等式： （4）三角不等式： 非零向量 和 的夹角余弦: 定义3：非零向量 的夹角是 注： （1）零向量与任何向量都正交。 （2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 当向量 的内积为零时，即 时， 即 时，称向量 正交。 定义4： 2. Schmidt正交化、单位化法。 定义5： 正交向两组：非零实向量 两两正交。 正交单位向量组： （标准正交向量组） 非零实向量 两两正交， 且每个向量长度全为1。 即 定理：正交向量组是线性无关的。 schmidt正交化、单位化法： 例：书p100例3.5.1 3. 正交矩阵 定义6： A是一个n阶实矩阵，若 则称A为正交矩阵。 定理：设A、B都是n阶正交矩阵，则 或 也是正交矩阵。 也是正交矩阵。 *