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信号表示为正交函数集 信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。 信号表示为正交函数集 ——用分量 来近似代表原矢量 的误差矢量。 例1： 试用正弦函数sint 在区间（0，2 ）内来近似表示此函数，使均方误差最小。 3、用完备正交函数集表示信号 如果用正交函数集 ， ，… 在区间 近似表示函数 方均误差为 若令 趋于无限大， 的极限等于零 则此函数集称为完备正交函数集 一、矢量的分量和矢量的分解 矢量 在矢量 上的分量示意图 图(a)中 图 中 为 在 上的斜投影，可有 无穷多个斜投影，用斜投影近似代表原矢量 时， 都大于 。 结论：若用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量 最小，则这个分量只能是原矢量的垂直投影。 图(a)中 从几何图上可得： 从解析角度： 则令 也可导出 ——是在最小平方误差的意义上标志着 和 相互近似程度。 信号表示为正交函数集 例如： 和 相同时， 时， 由图 还可看出， 其中 ， 与 组成一正交矢量。 信号表示为正交函数集 平面矢量分解图 和 是一组模为1的正 交矢量 信号表示为正交函数集 空间中的矢量分解图 信号表示为正交函数集 矢量空间的概念可以引申到n维。设n维正交矢量集为 即 则 信号表示为正交函数集 二.信号的分量和信号的分解 信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 函数的分解。 1、函数的分量 设在区间 内，用函数 在另一 函数 中的分量 来近似的代表 原函数 。 取何值时，得到最佳近似？ 信号表示为正交函数集 选择误差函数 的方均值为最小。 即 方均值为 求此值最小时的 信号表示为正交函数集 令 解得 矢量分解 ——是在最小方均误差的意义上代表二函数 和 间的相关联的程度。 信号表示为正交函数集 称 和 在区间 内为正交，构成 了一个正交函数集。 称 与 正交，组成正交矢量。 信号表示为正交函数集 1 t 0 1 信号表示为正交函数集 所以 解： 在区间 内近似为 信号表示为正交函数集 例2：试用函数 在区间 内近似表示 解： 也即cost不包含sint分量，或说cost与sint正交。 信号表示为正交函数集 2、正交信号空间 设n个函数 构成一函数集，如在区间 内满足下列正交特性： ——常数 则称此函数集为正交函数集，这n个 构成一个n维正交 信号空间。任意一个代表信号的函数f（t），在区间 内可以用组成信号空间的n个正交函数的线性组合来近似。 信号表示为正交函数集 理论上讲 在使近似式的均方误差最小条件下，可求得 均方误差 信号表示为正交函数集 定义1： 信号表示为正交函数集 定义2： 如果在正交函数集 之外， 不存在函数x（t） 满足等式 i为任意整数 则此函数集称为完备正交函数集。 信号表示为正交函数集 这有两层意思： 1，如果x（t）在区间内与 正交，则x（t）必属 于这个正交集。 2，若x（t）与 正交，但 中不包含x（t）， 则此集不完备。 信号表示为正交函数集 4、复变函数的正交特性。 若 和 是t 的复变函数，则有关正交特性 的描述如下： 若 在区间 内可由 来近似， 使均方误差幅度最小的 之最佳值是 两个复变函数 和 在区间 内互相 正交的条件是： 信号表示为正交函数集 如果在区间 内，复变函数集 ， 满足 则称此为正交函数集 信号表示为正交函数集 例:(1) 三角函数集为完备正交函数集。 例:(2)复指数函数集 是一个复变函数集，也是完备正交函数集。 信号表示为正交函数集