14正交化及正交矩阵.pptVIP

Schmidt正交化及正交方阵 * * * * . 向量的内积及其性质 向量内积的定义 设 是两个n维向量 令 称X, Y是向量X和向量Y的内积。 2. 内积的性质 (1) X, Y = Y, X (3) X+Y, Z = X, Z + Y, Z (2) ?X, Y = ? X, Y 3. 向量的范数 称 为向量X的长度 (范数), 记为||X|| 称||X – Y||为X与Y之间的距离. 证明： 令 f(t) = X+tY, X+tY， 显然函数f(t) ? 0且 f(t) = X, X+tY + tY, X+tY = X, X + tX, Y + tY, X + t2Y, Y = ||X||2 + 2tX, Y + t2||Y||2 从而有： 即 证毕 称 为向量X与之间的夹角. 即 ,特别 4. 范数的性质 (5) ||X|| ? 0, 且 ||X|| = 0 ? X = 0 证明: 由 再由 得到: 即: 证毕 例1. 设X, Y, Z皆是n维向量, 试证明三角不等式: 证明: 例2. 设X, Y是两个相互正交的n维向量, 试证明勾股定理: 证明: 定理1.非零的正交向量组必然是线性无关的。 证明： 设?1, ?2, …, ?m是一组两两相互正交的非 零向量. ?1, ?2, …, ?m是一组数， ?1?1 + ?2?2 + … + ?m?m = 0 使得 则 0 = ?j, ?1?1 + ?2?2 + … + ?m?m = ?j ?j, ?j 又||?j||2 0, 所以?j = 0, j = 1, 2, …, m 从而?1, ?2, …, ?m线性无关 证毕 二. 向量空间的标准正交基 标准正交基的定义及其性质 定义:设V是一个向量空间，?1, ?2, …, ?m是V的一组基，若满足： 1）?1, ?2, …, ?m两两相互正交 2）||?j|| = 1, j = 1, 2, …, m 则称?1, ?2, …, ?m是向量空间V的一组标准正交基. 定理2 若?1, ?2, …, ?m是向量空间V的一组标准正交基，? = ?1?1 + ?2?2 + … + ?m?m是V中的一个向量，则?j = ?, ?j, j = 1, 2, …, m 证明： 2. Schmidt正交化过程 定理3 若V是Rn的一个非零子空间，则V一定有标准正交基 . 证明： 设?1, ?2, …, ?m是V的一组基。 取 取 取 设?1, ?2, …, ?s, s m,是两两正交的单位向量,并且该向量组与?1, ?2, …, ?s等价. 取 ; 当 j = 1, 2, …, s 时, 显然, ?1, ?2, …, ?s, ?s+1是两两正交的单位向量,并且该向量组与?1, ?2, …, ?s, ?s+1等价. 经过若干次后我们就可以得到V的一组标准正交基?1, ?2, …, ?m。 ?1 = ?1, 证毕 Schmidt正交化过程 ,k = 1, 2, …, m-1 例3. 把列向量组?1 = (1, 0, 1, 1)T, ?2 = (1, 1, 0, 1)T, ?3 = (0, 1, 1, 1)T正交化。 解: 令 ?1 = ?1, 例４ 解 把基础解系正交化，即合所求．亦即取