正交基与标准正交基.ppt

* 返回 后页 前页 7.2 正交基与标准正交基 授课题目 正交基与标准正交基 授课时数 3学时 教学目的 掌握标准正交基的概念及求法，理解标准正交基的作用 教学重点 标准正交基的求法，标准正交基的作用 教学难点 施密特正交化方法的理论证明 . 定义1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量, 这个正交组就叫做一个标准正交组. 1．正交组的定义 例1 向量 构成 一个标准正交组，因为 一、正交组的定义、性质 函数组 (1) 1，cosx, sinx, … ,cosnx ,sinnx,… 例2 考虑定义在闭区间 函数所作成的欧氏空间 上一切连续 的一个正交组. 构成 事实上，我们有 把（1）中每一向量除以它长度，我们就得 C[0，2π]的一个标准正交组 2．正交组的性质 定理7.2.1 设 一个正交组，那么 线性无关. 是欧氏空间的 1．标准正交基的定义 设V 是一个n 维欧氏空间，如果V 中有 n 个向量 构成一个正交组，那么 由定理7.2.1，这个n 个向量构成V 的一个基， 叫做V 的一个正交基。如果V 的一个正交基 还是一个标准正交基，那么就称这个基是一 个标准正交基. 二、标准正交基的定义、性质及存在性 例3 欧氏空间 的基是 i =1,2,…,n, 的一个标准正交基. 如果 正交基。令ξ是V的任意一个向量那么ξ是可 是 是n 维欧氏空间V的一个标准 以唯一写成 是ξ关于 的坐标. 由于 是规范正交基，我们有 （3） 这就是说，向量ξ关于一个规范正交基的 第i个坐标等于ξ与第i个基向量的内积； 其次，令 那么 （4） 由此得 （5） （6） （3） （4） 3．标准正交基的性质 设 是 的一个基，但不一定是 正交基 问题就解决了,因为将 再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交 借助几何直观，为了求出 正交基。从这个基出发，只要能得出 的一个 基。先取 我们考虑线性组合 从这里决定实数a， 使 正交，由 及 得 取 那么 又因为 线性无关，所以对于任意实数 a 因而 这就得到 的一个正交基 4．标准正交基的存在性 定理7.2.2（施密特正交化方法) 设 是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求 使得 可以由 线性表示，k = 1,2,…,m. 出V 的一个正交组 证 取 那么 是 的线性组合，且 其次取 又由 所以 正交. 假设1 ＜ k ≤ m，而满足定理要求的 都已作出. 那么 是 的线性组合，并且因为 线性无关，所以 取 所以 是 的线性组合. 由于假定了 i = 1, 2, …, k -1，所以把这些线性组合代入上式，得 的线性组合， 线性无关， 由 得 又因为假定了 两两正交. 这样， 也满足定理的要求. 所以 定理得证. 定理7.2.3 任意n（n 0）维欧氏空间 一定有正交基，因而有标准正交基. 例4 在欧氏空间 中对基 施行正交化方法得出 的一个标准正交基. 解 第一步，取 第二步，先取 然后令 第三步，取 再令 于是 就是 的一个标准正交基. 练习1 设 试把 的基 的一个基,并将它标准正交化. 扩充成 练习2 设 标准正交基,证明: 也是V的一个标准正交基. 是三维欧氏空间V的 三、n 维欧氏空间同构的概念及判别 1．n维欧氏空间同构的定义 定义3 欧氏空间V与 说是同构的，如果 (i) 作为实数域上向量空间，存在V 到 的一个 同构映射 (ii) 对于任意 ，都有 2．n维欧氏空间同构的概念及判别 定理7.2.4 两个有限维欧氏空间同构的充分且 必要条件是它们的维数相等. 推论 任意n维欧氏空间都与 同构. 证