酉(正交)变换.pptVIP

* 线性空间引论电子教程 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 Department of Mathematics 内 积 空 间 第 二 章 教 学 内 容 和 基 本 要 求 1.理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系. 3. 理解酋空间的概念，会判定空间是否酋空间的方法， 2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定 方法. 4. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质 重点: 内积空间的概念；正交基及子空间的正交关系 难点: 正交变换的判定方法 定义6：设 为一个 阶复矩阵，如果其满足 则称 是酉矩阵，一般记为 定义7：设 为一个 阶实矩阵，如果其满足 则称 是正交矩阵，一般记为 酉矩阵正交矩阵 酉矩阵与正交矩阵的性质： 设 ，那么 这里 (ii) (i)　设 有 定理1 设V是 维欧氏(酉)空间 　 为V的一组标准正交基，则 定理2: 维欧氏(酉)空间V中的一组基 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 (定理1) 维欧氏(酉)空间中任一个正交向量组 都能扩充成一组正交基. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程 (定理2)设 欧氏(酉)空间 的线性无关 组,则在 中存在正交向量组 ,且 其中: 为单位上三角阵. Schmidt正交化过程: 化成正交向量组 先把线性无关的向量组 再单位化得标准正交向量组 不难证明: 是V中正交向量 子空间的正交 1,定义: 2) 　与 是欧氏(酉)空间V中的两个子空间，如果对 则称子空间 与 为正交的，记作 恒有 1) 设 是欧氏(酉)空间V中的子空间, 　 如果对 　　恒有 　则称向量　与子空间 　正交，记作 ① 　　当且仅当 　中每个向量都与 　正交． ② ③ 当 　　且 　　时，必有 说明: ④ 若 ,则: 2,定理: (1),设酉(欧氏)空间 , 为标准正交基,则: (2),设 ,则: 1. 正交补的定义： 如果欧氏空间V的子空间 　 满足　　　　并且 则称 　为 　的正交补. 2． 维欧氏空间V的每个子空间 　都有 唯一正交补. 3. 两两正交的子空间的和必是直和． 4. 子空间W的正交补记为　　　即 5, 维欧氏空间V的子空间W满足: i) ii) iii) ⅳ) W的正交补 必是W的余子空间. 定义： 设 是一个 维酉空间， 是 的一个变换，如果对任意的 都有 则称 是 的一个酉变换。 1.酉变换的定义 §2.4 酉(正交)变换、正交投影 一, 酉变换与正交变换 * * * * * * * * * * * * * * * * * * Department of Mathematics Department of Mathematics * Department of Mathematics Company LOGO Department of Mathematics Department of Mathematics *