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正交化方法 平面旋转矩阵 根据上述分析，对于向量组{v1,...,vm}张成的空间Vn，只要从其中一个向量（不妨设为v1）所张成的一维子空间span{v1}开始（注意到{v1}就是span{v1}的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到Vn的一组正交基。 这就是Gram-Schmidt正交化。 豪斯霍尔德变换——初等反射阵 设向量 且 ， 为初等反射阵(或称为豪斯霍尔德（Householder）变换). 称矩阵 (1) 是对称矩阵，即 (2) 是正交矩阵，即 证明 是一个初等反射阵. 初等反射阵的几何意义. 设 S是过原点 且以 为法向量的超平面 . 设任意向量 ， 则 , 其中 . 设向量 , 则显然 于是 对于 ， 从而对任意向量 ， 其中 为 关于平面S的镜面反射. 总有 设 , 则变换 是平面上向量的一个旋转变换，其中 为正交矩阵. 其中 中变换： 而 称为 中平面 的旋转变换(或称为吉文斯（Givens） 变换)， 称为平面旋转矩阵. 显然， 具有性质： (1) 与单位阵 只是在 位置 元素不一样，其他相同. (2) 为正交矩阵 (3) (左乘)只需计算第 行与第 行元素， 即对  有 其中 (4) (右乘)只需计算第 列与第 列元素 利用平面旋转变换，可使向量 中的指定元素变为零. Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。设 Vk是Vn上的k?维子空间，其标准正交基为 且v不在Vk上。由投影原理知，v与其在Vk上的投影 之差 是正交于子空间Vk的，亦即β正交于Vk的正交基ηi。 因此只要将β单位化，即 那么{η1,...,ηk+1}就是Vk在v上扩展的子空间的标准正交基。