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第四节 欧式空间和酉空间 一、定义 设V是R上的线性空间，在V上定义了一个二元函数，称为内积，记为（x，y），满足以下性质： 1)对称性（x，y）=（y，x）； 2)可加性（x+y，z）=（x，z）+（y，z）； 3)齐次性（k x，y）=k（x，y），k为任意实数； 4)非负性（x，x）≥ 0，当且仅当x=0时有（x，x）= 0. 此时称V为欧式空间（有限维或无限维） 注：欧式空间的子空间仍是欧式空间 注：（x，y+z）=（y+z，x）=（y，x）+（z，x）=（x，y）+（x，z） （x，ky）=（ky，x）=k（y，x）= k（x，y） 即：内积对两个变量都满足线性性质. 例：在R n中，取x =(x1,…, xn )T ，y =( y1, …, yn ) T ， 令 (x，y)= x1 y1 +…+ xn yn 易验证满足内积四 个 条件，故为欧氏空间，仍记为R n. 例： f, g∈ C [a，b]，令 （f, g）= , 则C [a，b]为欧氏空间. 定义：非负实数 称为x的长度（模），记为 ||x||. 欧氏空间中有： 1)||k x|| = |k| ||x||; 2)||x+y||2+||x-y||2 = 2（||x||2+||y||2）平行四边形公式 3)|（x，y）| ||x||?||y|| 柯西公式 4)||x+y|| ||x||+||y|| 三角不等式 注：由柯西公式引入两个非零向量的夹角: x，y = 二、正交性 在欧式空间中，如果（x，y）= 0，则称x与y正交（垂直）， 记为 x ⊥ y. 注： x ⊥ y y ⊥ x， 0与任何向量正交. x ⊥ y ||x+y||2 = ||x||2+||y||2 勾股定理，可以推 广到一般情形. 定义：n维欧式空间中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一组正交向量组，正交向量组是线性无关的，所以个数不会超过n. 定义：n维欧式空间中,由n个向量组成的正交向量组称为正交基. 由单位向量组成的正交基称为标准正交基. 注：1）将一组正交基单位化即可得到标准正交基. 2)设e_1,…,e_n为标准正交基，则（e_i， e_j）= 其度量阵为I_n（单位矩阵） 3）在单位正交基下，内积运算变的简单： 设 x=x_1e_1+…+x_ne_n, y=y_1e_1+…+y_ne_n 则（x，y）=x_1y_1+…+x_ny_n = XTY 正交直和分解： 三、正交变换与正交矩阵 正交变换：欧式空间中的线性变换T称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即 对任意的V中的x与y， T（x，y）= （Tx， Ty） =（x，y）. 定理：V是欧式空间，T ∈L（V，V），以下命题等价： 1）T是正交变换 2）T保持长度不变，即 ||T x||=||x||. 3）如果e_1,…,e_n为标准正交基，则Te_1,…,Te_n为标准正交基. 4）T在V的任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵. 注：如果ATA=AAT=I，称A为正交矩阵，正交矩阵满足性质： (a) A 为非奇异阵， |A|= ±1 (b) A -1= A T，都为正交阵 (c)正交阵的乘积仍为正交阵 (d)A的特征值的模为1 四、酉空间简介 定义：设V是C上的线性空间，在V上定义了一个二元函数（值为复数），称为内积，记为（x，y），满足以下性质： 共轭对称性（x，y）= ； 可加性（x+y，z）=（x，z）+（y，z）； 齐次性（k x，y）=k（x，y），k为任意复数； 非负性（x，x）≥ 0，当且仅当x=0时有（x，x）= 0. 此时称V为酉空间（有限维或无限维）