§4 正交变换.pptVIP

上页 下页 返回 结束 §4 正交变换 定义9 欧氏空间V 的线性变换A称为正交变换，如果它 保持向量的内积不变，即对于任意的 都有 正交变换的充分必要条件 定理4 设A是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下 面四个命题是相互等价的： 1）A是正交变换，即保内积； 2）A保持向量的长度不变，即对于 3）如果 是标准正交基，则 也是标准正交基，即A将标准正交基变成标 准正交基； 4）A在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 证明： 首先证明1）与2）等价. 如果A是正交变换，则对于 故 对于 于是将最后的等式展开即得 再利用 即得 再来证明1）与3）等价. 设 是一组标准正交基，则 由此可知， 也是标准正交基. 设 是一组标准正交基，则 也是一组标准正交基， 于是对于 设 则 于是 即A为正交变换. 最后证明3）与4）等价 设 是一组标准正交基，则 也是一组标准正交基， 而A 在 下的矩 阵为 A，即 则A即为由标准正交基 到标准正交基 的过渡矩阵， 由此可知 A为正交阵. 由上述分析可知，如果A为正交矩阵，则由（1） （1） 式所确定的 为标准正交基. 注1 因为正交矩阵是可逆的，所以正交矩阵是 可逆的. 由定义不难看出，正交变换实际上就是一 个欧氏空间到它的自身同构映射. 注2 在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对 由此可知，可由正交变换的性质得到一些正交 矩阵的的性质： 应. 1） 正交矩阵的逆仍是正交矩阵； 2） 两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵. 正交矩阵（正交变换）的分类及其几何意义 若A是正交矩阵，则由 可知 即 若| A| = 1，则称相应的正交变换为旋转，或者 称为第一类的； 若|A| = －1，则称相应的正交变换为第二类的. 以三维几何空间为例，我们知道可以建立两种 直角坐标系，右手系的或左手系的. 先来看右手直角坐标系的概念，所谓建立直角 实际上就是先选取一定点O， 再选取三个两 两正交的单位向量 坐标， 使之 满足右手法则. 然后定义向量的坐 标，而向量 的坐标实际上就是 在基 下的坐标. 而 显然就是一组标准正交基， 选取另外三个两两正交的单位向量 若从基 到基 的过渡矩阵A的行列 式等于 1，则以 建立的直角坐标系是右手 系的. 若从基 到基 的过渡矩阵A的行列 式等于－1，则以 建立的直角坐标系就是 左手系的. 不难利用向量的向量积或混合积验证： 三维几何空间中的右手系和左手系的概念可以 广到一般n维欧氏空间中， 只是没有了右手法则和左 手法则这样直观的表示. 于是我们就直接按过渡矩 阵的行列式列的符号（即等于+1还是－1）对n 维欧 氏空间中的的标准正交基进行分类. 欧氏空间（也 可用于线性空间）中所有的基分为两类： 先选取一 组基，凡是与它的过渡矩阵大于零的基属于一类， 反之，与它的过渡矩阵小于零的基属于另一类. 上页 下页 返回 结束