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球面上的勾股定理 如图所示，圆AB、BC、AC为球面上的三个圆，其中AC为大圆，圆AB与BC、BC与AC、AC与AB相切。圆AB、BC、AC的法线（法线：垂直于圆所在的平面，且通过圆心的直线）皆在平面M内。 由于圆AB、BC、AC的法线皆通过球心，且皆在平面M内，则球心也在平面M内，所以平面M一定是大圆平面。设这个大圆为D。 由于法线皆垂直于圆，所以圆AB、BC、AC皆垂直于平面M。 由于法线通过圆心，且在平面M内，所以平面M通过圆心，所以，圆AB与平面M、BC与平面M、AC与平面M的交点间的距离皆为圆的直径。 由于圆AB、BC、AC上任意一点都在球面上，所以圆AB、BC、AC与平面M的交点也在球面上。 由于平面M上的球面为大圆D，所以圆AB、BC、AC与平面M的交点也在大圆D上。 由于圆AB、BC、AC皆垂直于平面M，且相切，所以，其切点也一定在大圆D上。 设圆AB与BC的切点为B，圆BC与AC的切点为C，圆AC与AB的切点为A，则A、B、C三点皆在大圆D上，且A、B、C三点之间的距离皆为圆的直径。 用直线连接A、B、C这三点，可以得到平面三角形ABC，由于AC为大圆的直径，三角形的三个定点又在大圆上，所以三角形ABC一定为直角三角形。 所以，其三边的关系是： （AB）^2+（BC）^2=（AC）^2 （1） 由于，在上述给定的条件下，平面三角形ABC为直角三角形，所以，球面三角形ABC也是直角三角形。 由于平面直角三角形的边与的积为球面直角三角形边长（弧长），关于球面上的角 如图所示，在球面上，蓝圆及红圆皆为球面上的圆（大圆或小圆），绿圆为大圆（且蓝圆及红圆在绿圆平面上的正射影皆为直线）。AH为蓝圆的直径，CG为红圆的直径。显然，∠ABC的大小等于平行于蓝圆的大圆与平行于红圆的大圆所形成的两面角的大小（平行则同位角相等）。由于，∠ABC=∠ADC，∠GBH=∠GDH，且∠ADC=∠GDH，所以∠ABC=∠GBH。也就是说在球面上对顶角也是相等的。 所以，球面角球面上两个圆所形成的两面角。在球面上，过已知直线外一点可以画无数条直线与已知直线垂直 球面上直线与直线的关系 如图所示，在球面上直线与直线的关系：1、平行的关系，红色直线与蓝色直线之间就是平行的关系（直线与直线重合也是平行的关系的一种，重合不等于相交）；2、相交的关系，绿色直线与蓝色直线之间的关系就是相交的关系；3、不相交也不平行的关系，黄色直线与蓝色直线之间就是不相交也不平行的关系。所以在球面上，不相交不等于就是平行的，这与平面上的情形是不同的。以往的非欧几何认为不相交就是平行，这是不对的，这是照搬了平面经验的结果。由于大圆的特殊性，大圆与大圆之间总是相交的，所以大圆只存在自身与自身的平行，不存在大圆之间的平行。当然，大圆之间也不存在不相交也不平行的关系。 球面上的三角形 球面上的三条直线（大圆或小圆）相交所形成的封闭图形为球面三角形。如图，ABC就是一个球面三角形。球面三角形分成两类，一类是其内角和等于180的三角形，组成这类三角形的直线的法线（法线：垂直于圆所在的平面，且通过圆心的直线）在同一平面内；另一类是其内角和大于180的三角形，组成这类三角形的直线的法线不在同一平面内。可以说前一类三角形是后一类三角形的特例。非欧几何研究的就是后一类的三角形。  球面直角坐标系 我们可以建立这样的直角坐标系，y的最大值为+0.5πR，y的最小值为-0.5πR，x的最大值为+πR，x的最小值为-πR，其中R为球的半径。在这个坐标系中我们可以用勾股定理来求任意两点之间的弧长。  在球面上勾股定理也成立！ 用平面AB、BC、AC截球面，其中AB与BC互相垂直，AC通过球心；截线AB与BC、截线BC与AC、截线AC与AB都只有一个公共点。形成球面三角形ABC。设其球面三角形三条边的法线（法线：垂直于圆所在的平面，且通过圆心的直线）在同一平面内，故球面三角形ABC的内角和等于180度。用直线连接A、B、C三点平面直角三角形，勾股定理。三角形的每边与pi的积为球面直角三角形的三条边的长（弧长），所以球面直角三角形勾股定理。 球面上的相似三角形 所谓的相似三角形就是对应边平行的三角形。如图所示，在球面上，我们用JH、FG、互相平行的KL与MP平面切割球，得到三角形ABC和DBE，设三角形的三条边的法线皆在一个平面内（也就是三角形的内角和等于180度），由于直线BD平行于BA（重合），BE平行于BC（重合），DE平行于AC，所以三角形ABC和三角形BDC相似。 球面上的矩形 所谓矩形就是其对应边平行，且四个角为直角的四边形。如图所示，用一对互相平行的平面垂直切割球面，同时用一对互相平行的平面水平切割球面，所得到的四边形ABDC就是矩形。因为它的AB平行于CD，AC平