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3－4 二阶系统 用二阶微分方程描述的系统，称二阶系统。它在控制系统中应用极为广泛。例如，网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧－质量－阻尼器系统、扭转弹簧系统等等。此外，许多高阶系统，在一定条件下，往往可以简化成二阶系统。因此，详细研究和分析二阶系统的特性，具有重要的实际意义。 以图1-7、图2-21所示随动系统为例进行研究。这里把图2-21进一步简化成图3-9(a)。图中，系统闭环传递函数为 （3-9） 为了使研究的结论具有普遍性，将上式写成典型形式或标准形式 或 （3-10） 图3-9(b)为二阶系统的一般结构图形式。式中 ；； 可见，二阶系统的响应特性完全可以由阻尼比和自然频率 (或时间常数)两个参数确定。一般形式的闭环特征方程为 方程的特征根(系统闭环极点)为 当阻尼比较小，即时，方程有一对实部为负的共轭复根 系统时间响应具有振荡特性，称为欠阻尼状态。 当时，系统有一对相等的负实根 系统时间响应开始失去振荡特性，或者说，处于振荡与不振荡的临界状态，故称为临界阻尼状态。 当阻尼比较大，即时，系统有两个不相等的负实根 这时系统时间响应具有单调特性，称为过阻尼状态。 当时，系统有一对纯虚根，即，称为无阻尼状态。系统时间响应为等幅振荡，其幅值取决于初始条件，而频率则取决于系统本身的参数。 上述各种情况对应的闭环极点分布及对应的脉冲响应，如图3-10所示。 下面分别研究欠阻尼和过阻尼两种情况的响应及其性能指标。 一、 二阶系统的阶跃响应 1、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 二阶系统中，欠阻尼二阶系统最为常见。由于这种系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈现衰减振荡特性，故又称振荡环节。 当阻尼比时，二阶系统的闭环特征方程有一对共轭复根，即 式中，称为有阻尼振荡角频率，且。 当输入信号为单位阶跃函数时，输出的拉氏变换式由式(3-10)可得 对上式进行拉氏反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应，并用表示，即 （3-11） 式中由图3-11所示。 或 由式(3-11)可见，系统的响应由稳态分量与瞬态分量两部分组成，稳态分量值等于1，瞬态分量是一个随着时间的增长而衰减的振荡过程。振荡角频率为，其值取决于阻尼比及无阻尼自然频率。我们采用无因次时间作为横坐标，这样，时间响应仅仅为阻尼比的函数，如图3-12所示。 由图可见，阻尼比越大，超调量越小，响应的振荡越弱，系统平稳性越好。反之，阻尼比越小，振荡越强烈，平稳性越差。 当时，系统阶跃响应不出现峰值()，单调地趋于稳态值。 当时， ，调节时间最小，，若按5%的误差带考虑，可认为。 当时， 随减小而增大。过渡过程峰值和调节时间也随减小而增大。 当时(即， 表示系统具有一对纯虚根)，方程式(3-11)就成为 （3-12） 显然，这时响应具有频率为的等幅振荡，即无阻尼振荡。 此外，当过大时，系统响应滞缓，调节时间很长，系统快速性差；反之，过小，虽然响应的起始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间亦长，快速性也差。由图3-12可见，对于5%的误差带，当时，调节时间最短，即快速性最好，这时超调量，故平稳性也是很好的，所以把称为最佳阻尼比。 关于稳态精度：由于随时间的增长，瞬态分量趋于零，而稳态分量恰好与输入量相等，因此稳态时系统是无差的。 欠阻尼二阶系统性能指标的计算如下： 延迟时间①：根据定义，令式(3-11)等于0.5，即=0.5，整理后可得 取为不同值，可以计算出相应的值，然后绘出与的关系曲线，如图3-13所示。利用曲线拟合方法，可得延迟时间的近似表达式 （3-13） 或 (3-14) 上述两式表明，增大或减小，都可以减小延迟时间。或者说，当阻尼比不变时，闭环极点离［s］平面的坐标原点越远，系统的延迟时间越短；而当自然频率不变时，闭环极点离［s］平面的虚轴越近，系统的延迟时间越短。 上升时间：②根据定义，令式（3-11）等于1。即 ， 可得 因为 所以 则有 由图3－11可见 所以 （3-15） 显然，当阻尼比不变时，角也不变。如果无阻尼振荡频率增大，即增大闭环极 点到坐标原点的距离，那么上升时间就会缩短，从而加快了系统的响应速度；阻尼比越小(越大)，上升时间就越短。 峰值时间：将式(3-11)对时间求导并令其为零，可得峰值时间 将上式整理得 则有，， ，， …。