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非线性控制系统的相平面分析法 线性系统相平面的图解法 非线性系统的相平面分析 用相平面表现运动 运动的状态方程与相轨迹方程 弹簧-质量系统自由运动 弹簧-质量系统自由运动的相平面图 线性一阶系统的相轨迹 线性二阶系统的相轨迹 0?? ?1时，线性二阶系统的相轨迹 ? =1时，线性二阶系统的相轨迹 ? ?1时，线性二阶系统的相轨迹（稳定的节点） ? =0时，线性二阶系统的相轨迹 -1? ??0时，线性二阶系统的相轨迹 ? ? -1时，线性二阶系统的相轨迹 线性二阶系统的相轨迹 线性二阶系统的相轨迹 奇点与普通点 积分法 等倾线 切线场 利用切线场绘出相轨迹 转换成误差运动的分段线性方程 利用对称性绘相轨迹 绘出相轨迹，判断系统的运动特点 极限环现象 极限环概念 稳定极限环 不稳定极限环 半稳定极限环 I II -KM KM 根据切线场，判断出系统运动最终收敛于坐标原点？ 原系统没有奇点，坐标原点并不是一个真正意义上的平衡点。因实际中不存在理想的继电特性，真实运动在偏差极小的范围内维持一个振荡。 相轨迹中渐近线的概念，一种孤立的斜率等于常值的相轨迹称为渐近线。即在渐近线的邻域中，其他相轨迹的斜率均不为常值。如本例KM和-KM M -M I II I II III III I、II区的运动与理想继电特性相同 III区的相轨迹是平行的斜线 I II III I II III a b c d a-b动能增加，b-c动能衰减，如果III区的相轨迹较平坦，不足以减少a-b段的动能增量，势必引起稳定的振荡。大偏差时逐渐收敛于稳定的振荡。小偏差时收敛在实轴。 III区相轨迹的斜率小 III区相轨迹的斜率大 运动方程没有位置项，如要稳定，动能应衰减为零。 运动不可能在I和II区停止（见前理想继电器的分析） 在III区，相轨迹是斜线可收敛在横轴。但能否在该区完成收敛取决于这些斜线的斜率、该区宽度以及区域上下错位情况。 极限环相平面上特殊的相轨迹，是非线性系统特有的一种现象，它是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，极限环附近的相轨迹或卷向极限环，或卷离极限环。极限环内部（或外部）的相轨迹，总是不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。极限环分为三种类型。 在极限环附近，起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛与该极限环。这时，系统表现为等幅持续振荡。稳定的极限环对状态的微小扰动具有稳定性。它是实际中唯一能观察到的现象。 * 描述函数对非线性环节有限定条件，并且不能直接分析初始条件对非线性系统的影响。也就是说，它只能用于非线性系统的稳定性分析。 相平面以运动中的两个重要的状态量（速度和位置）作为坐标，将运动的变迁过程表现在平面上，不仅可直观地表现线性系统运动特点，更为非线性系统提供了一种有效的分析手段。 同时相平面的相关概念也是状态空间分析法的基础。 一．基本概念 二．线性系统的相轨迹 三.相轨迹的绘制 四.由相轨迹求时间解 相平面及相轨迹 相平面有关概念举例说明 线性一阶系统的相轨迹 线性二阶系统的相轨迹 奇点与普通点 积分法 等倾线法 本质非线性系统的线性化 非线性系统的极限环 运动微分方程式 对应的通解 C1和C2由初始位置和初始速度确定。通解虽可以反映出初始条件对运动的影响，但在时域内不便于直观表现出来。 由通解知 如将运动在同一时刻的位置及相应的速度看成一点，表现在坐标上即可描绘出在不同初始条件下运动的不同形态。 纵坐标表示速度 横坐标表示位置 曲线上的箭头表示随时间增加运动状态的迁移过程。明显，曲线上含有时间的信息。 相平面图示意 方程可进一步表示成如下形式： 式中 二阶线性系统可用下列常微分方程描述 u为外作用。是个常量 用第一个方程除 第二个方程 相轨迹斜率方程 则 运动状态方程组 相轨迹方程可用于描绘运动的相轨迹，也是相平面分析的工具。 运动微分方程式 相轨迹方程两边分别积分 经整理得相平面上的相轨迹 状态方程组 相轨迹斜率方程 轨迹是一簇椭圆，反映了初始条件对运动的影响。 1象限：动能转换成势能（弹簧拉伸运动） 4象限：势能转换成动能（拉伸最大后进行反向恢复运动） 3象限：动能转换成势能（反向恢复动能最大后进行压缩运动） 2象限：势能转换成动能（压缩势能最大后进行正向恢复运动） 上半平面 轨迹向右移 下半平面 轨迹向左移。 不同的初始条件，对应不同的椭圆。它示出所有可能的运动 本例系统内不存在阻尼，系统的运动是不衰减的等幅振荡，相平面上表现成同心的椭圆，表示在能量转换中不耗能，保持初始的能量不变。 线性一阶系统自由运动的微分方程为 相轨迹方程为： 设初始条件为： 收敛 发散 线性二阶系统自由运动的微分方程为 相轨迹方程为： 或 b0时，有以下七种情况。 相轨迹为向心螺旋