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第三章 控制系统的时域分析 §3-1 引 言 §3-2 一阶系统的时域响应 §3-3 二阶系统的时域响应 §3-4 高阶系统的时域响应 §3-5 控制系统的稳定性 §3-6 控制系统的稳态误差 §3-1 引 言 分析和设计控制系统的首要任务是建立系统的数学模型。一旦获得合理的数学模型，就可以采用不同的分析方法来分析系统的性能。 时域分析法在时间域内研究系统在典型输入信号的作用下，其输出响应随时间变化规律的方法。对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。 瞬态分量 由于输入和初始条件引起的，随时间的推移而趋向消失的响应部分，它提供了系统在过度过程中的各项动态性能的信息。 稳态分量 是过渡过程结束后,系统达到平衡状态，其输入输出间的关系不再变化的响应部分，它反映了系统的稳态性能或误差。 时域分析法的物理概念清晰，准确度较高，在已知系统结构和参数并建立了系统的微分方程后，使用时域分析法比较方便。不过若用它来设计和校正系统，根据系统性能指标的要求来选定系统的结构和参数，却存在一定的困难。 为了研究控制系统的输出响应，必须了解输入信号的变化形式。在工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值系统），但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其输入量是如何变化的（如随动系统）。因此，为了方便系统的分析和设计，使各种控制系统有一个进行比较的基础，需要选择一些典型试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。常用的试验信号在第二章已经介绍，它们是阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数、脉冲函数及正弦函数。这些函数都是简单的时间函数，并且易于通过实验产生，便于数学分析和试验研究。 如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信号，则选用斜坡函数较合适；如果作用到系统的输入信号大多具有突变性质时，则选用阶跃函数较合适。需要注意的是，不管采用何种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的情况下的输入信号作为典型实验信号。 本章主要讨论控制系统在阶跃函数、斜坡函数、脉冲函数等输入信号作用下的输出响应。 §3-2 一阶系统的时域响应 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统, 典型闭环控制一阶系统如图3-1所示.其中 是积分环节，T为它的时间常数。 系统的传递函数为 在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。 一、单位阶跃响应 设系统的输入为单位阶跃函数r(t) = 1(t) ,其拉氏变换为 ,则输出的拉氏变换为 对上式进行拉氏反变换，求得单位阶跃响应为 (3-2) 上式表明，当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线,式中的1为稳态分量， 为瞬态分量，当t→∞时 ，瞬态分量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应都不会超过起稳态值。由于该响应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应。一阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-2所示。 图3-2中指数响应曲线的初 始（t=0时）斜率为 . 因此，如果系统保 持初始响应的变化速度 不变，则当t=T时，输出 量就能达到稳态值。 实际上，响应曲线的斜率是 不断下降的，经过T时间后，输出量C（T）从零上升到稳态值的63.2%。经过3T～4T时，C（t）将分别达到稳态值的95%～98%。可见，时间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升越快，响应过程的快速性也越好。 由式（3-2）可知，只有当t趋于无穷大时，响应的瞬态过程才能结束，在实际应用中，常以输出量达到稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间（即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差为5%或2%。 系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得的曲线