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9 二阶电路 王东剑 本章知识要点： ※　零输入响应 ※　零状态响应 ※　全响应 湖北工业大学 华中科技大学出版社 * * 9.1 零输入响应 二阶电路含有两个独立的动态元件，可以用二阶微分方程来描述。 在回路中由KVL有 图9-1 RLC串联基本电路 图9-1所示的二阶RLC串联基本电路中，已知 ， ，求t≥0时的 。 由换路定律知 对于线性常系数的二阶齐次微分方程，解为二阶电路的零输入响应，令 ，得特征方程为 特征方程的根为 特征根p1，p2称为电路的固有频率或自然频率。 ——电路的阻尼系数 ——谐振角频率 方程的通解为 讨论： 初始条件代入方程的解得 两特征根是不等的负实根 ，初始值不为零的电容通过R、L放电，联立方程的解为 可以看出电容电压是衰减的指数函数，且因为 ，所以随着时间的增长，uc中第一项比第二项衰减慢， uc一直为正。图9-2画出了电容电压、电流和电感电压随时间变化规律的波形。 图9-2 变化波形 根据波形可知，电容电压从单调地衰减为零，说明电容一直处于放电状态。故这种情况下为非振荡放电过程，或过阻尼情况。 动画演示：二阶电路的零输入响应(RLC串联) 1 i在变化的过程中具有一个极大值imax，设出现在t=tm,时刻，令 电感电压在随时间变化的过程中有一个极小值，令 求出极小值出现的时刻 在电路的整个工作过程中，电容始终是释放电场能量。 时电感吸收能量，建立磁场； 时电感释放能量，磁场逐渐减弱。电阻一直吸收能量，最终将电路中全部能量转变成热能。 两特征根是一对共轭复根 当初始条件同过阻尼情况时，电容电压为 图9-4画出了上述三个零输入响应随时间变化规律的波形。 图9-4 变化波形 动画演示：二阶电路的零输入响应(RLC串联) 2 在整个过渡过程中， 周期性地改变方向，且呈现衰减振荡的状态，电路中电容和电感周期性地交换能量，而电阻始终消耗能量，电容上原有的能量最后全部由电阻转化为热能消耗掉，这一状态也称为欠阻尼情况。 当电路中的电阻R=0时，有 相应的零输入响应分别为 此时的响应都是振幅不衰减的正弦函数，振荡会一直持续下去，从而形成等幅的自由振荡。 两特征根是相等的负实根 ，可求出 响应为 在整个过渡过程中， 是单调衰减的函数，电路的放电过程仍然属于非振荡性质，但是，恰好介于振荡和非振荡之间，所以称之为临界非振荡过程。响应随时间变化的波形与过阻尼情况相似。 动画演示：三种阻尼情况 例9.1 在图9-5所示的电路中，换路前电路处于稳态。求t≥0换路后电容的电压uc和i。已知： 图9-5 例9.1电路 解 （1） 换路前电路已达稳态，则有 t=0时开关打开，构成RLC串联回路，且满足 ，所以电路处于过阻尼情况，放电过程是非振荡的。 回路的KVL方程为 特征根方程为 将电路的元件参数代入得 特征根 初始条件为 （2）元件参数满足 ，所以电路处于欠阻尼情况，放电过程是衰减振荡的。将已知数据代入描述电路的微分方程得 9.2 零状态响应 在图9-6所示的基本RLC串联电路中，动态元件电容和电感的初始值为零， t=0时换路，电源uS作用于电路，求t≥0时的 。由于电路的初始状态为零，所以此时的响应称为二阶电路的零状态响应。 回路的KVL方程为 代入上式得 图9-6 二阶零状态响应电路 此二阶常系数线性非齐次微分方程的解为 。 其中 为齐次解（暂态解）， 为特解（稳态解）。 齐次解由电路参数决定，由电路的零初始条件可以确定齐次解中的常系数；特解的函数形式由外加激励确定。电路的零状态响应也相应的分为过阻尼、欠阻尼和临界阻尼三种情况。 9.2.1 阶跃信号激励下的零状态响应 二阶电路在阶跃信号激励下的零状态响应称为二阶电路的阶跃响应，如图9-7所示电路， 。 求 。 图9-7 二阶阶跃响应电路 （1）当 时，过阻尼情况，方程的解为 （2）当 时，过阻尼情况，方程的解为 由初始值可以确定 由初始值可以确定 （3）当 时，过阻尼情况，方程的解为 9.2.2 冲激信号激励下的零状态响应 RLC电路在单位冲激信号作用