不变子群商群-高数培训课件.pptVIP

§10.不变子群、商群 10.1 定义 10.2 例子 10.3 等价条件 10.4 商群 10.1 定义 10.2 例子 10.3 等价条件 10.4 商群 从商群的角度重新认识剩余类加群 作业: P74: 2,3,4 * 这一节里要讲到一种重要的子群，就是不变子群． 给了一个群 ，一个子群 ，那么 的一个右陪集 未必等于 的左陪集 ，这一点我们在上一节的例２里已经看到． 一个不变子群 的一个左(或右)陪集叫做 的一个陪集. 意味着: 吗? 反过来呢? 在元素间意味着什么? 不变子群又称为正规子群 注1. 注2. 注3. 注4. 定义　一个群 的一个子群 叫做一个不变子群,假如对于 的每一个元 来说,都有 例１　一个任意群 的子群 和 总是不变子群，因为对于任意 的元 来说， 例２　 刚好包含群 的所有有以下性质的元 ， ，不管 是 的哪一个元 证明: 是 的一个不变子群． 证明: . 的每一个元 可以同 的每一个元 交换，所以 ，即 是不变子群． (1) 是子群.因为 ，所以 是非空的． 这就是说， 是一个子群． ， 又 这个不变子群 叫做 的中心． 例３ 一个交换群 的每一个子群 都是不变子群．因为 的每一个元 可以和任意一元 交换， ，所以对于一个子群 来说， 例４ ．那么 　　　　　　　　　， ， 是一个不变子群． 从这个例子可以总结出一般性结论吗? 注5. 现在复习一下群 的子集的乘积: 设A，B是群 的两个非空子集,规定 ， 容易证明: ， 由于结合律成立, ， ，…， 的乘积用符号 来表示． 定理１ 一个群 的一个子群 是一个不变子群的充分而且必要条件是： 对于 的任意一个元 都对． 证明 …………证完 注5. 可以换成 ? 证明　这个条件的必要性是显然的，是定理１的直接结果．我们证明它也是充分的． 定理２　一个群 的一个子群 是一个不变子群的充分而且必要条件是： ， 条件 意味着 （＊） 因为 也是 的元，在（＊）中以 代 , …………证完 要测验一个子群是不是不变子群，用定理２的条件一般比较方便． 注6. 用定理２的条件可以改写成 ， 注7. 等价于 注8. 等价于‥‥‥？？ 注9. 小结: 群 的一个子群 , ， .下面条件等价: 1. 2. 3. 4. 注意: 不变子群不具有传递性. 不变子群所以重要，是因为这种子群的陪集，对于某种与原来的群有密切关系的代数运算来说，也作成一个群． 我们看一个群 的一个不变子群 的所有陪集作成一个集合 相对 :是一个元素, 相对 :是一 个子集. (2) 有不同的表示方式. 的子集的乘积,计算两个陪集 和 的 成绩 定理３　一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说作成一个群． 证明　我们证明群定义的条件Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ 能被满足． Ⅰ．显然． Ⅱ．　　　 Ⅳ． 是单位元,因为 Ⅴ 有逆元 ,因为 证完 定义　一个群 的一个不变子群 的陪集所作成的群叫做一个商群．这个群我们用符号 来表示． 因为 的指数就是 的陪集的个数，我们显然有，商群 的元的个数等于 的指数．当 是有限群的时候， 第一，回忆剩余类加群。 第二，重新认识 。设 *