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与代数相关的分类讨论问题 一、考点聚焦 分类讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。 (1).实数的分类。 (2).绝对值、算术根 (3).各类函数的自变量取值范围 (4).函数的增减性： (5).点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。 (6).三角形的分类、四边形的分类 二、热点分析 热点1： 热点：a-2）x=b-1 分析：对于方程ax=b，一般要对字母a,b进行分类讨论 当a≠0时方程有惟一解x=; 当a=0,b=0时，方程有无数个解； 当a=0,b≠0时，方程无解 ②试解关于x的方程 热点： 【例3】 设一次函数的图象不经过第一象限，求a的取值范围。 解：由题意得： 当，即时，一次函数变形为，其图象只经过第二、四象限。 当且，即时，一次函数的图象只经过第二、三、四象限。 综上所述，a的取值范围是。 注：当时，函数变形为，虽然它的图象不经过第一象限，但它不是一次函数，所以不合题意。 【例4】比较一次函数与二次函数的函数值y1与y2的大小。 解：根据题意，联立方程组，得 解这个方程组，得， 一次函数与二次函数的图象的交点坐标为（0，0）和（4，8）。 在同一直角坐标系中画出 一次函数与二次函 数的图象，如右图所示。 o 4 x （1）当或时， ； （2）当时， ； （3）当时， ； （4）当时， 。 综上所述，当时，；当时，；当时，。 小结：函数图象的位置与函数值的大小有密切的关系，在同一平面直角坐标系中，函数图象位于上方，对应点的纵坐标较大，对应的函数值也较大。因此，分类的关键是正确地确定两个函数图象的交点坐标。 【例】（2010湖南怀化）图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与轴的交点A,B的坐标； （2）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.【】的取值范围.直线与此图象有公共点【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标， 所以 令解之得. ∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0） (2) 在二次函数的图象上存在点P，使 设则，又, ∴ ∵二次函数的最小值为-4，∴. 当时，. 故P点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分 （3）如图1，当直线经过A点时，可得……………8分 当直线经过B点时，可得 由图可知符合题意的的取值范围为 三、重点巩固 1.一等腰三角形的两边长分别为5和10，则此等腰三角形的周长为 A.20或25 B.20 C.25 D.以上都不对 2.设a、b为实数，则下列四个命题中正确的有______________个. ①若a+b=0，则|a|=|b| ②若|a|+|b|=0，则a=b=0 ③若a2+b2=0，则a=b=0 ④若|a+b|=0，则a=b=0 A.1 B.2 C.3 D.4 3.直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有_____________个. A.4 B.3 C.2 D.1 4.⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是 A.42° B.138° C.84° D.42°或138° 二、填空题 6.已知|x|=3，|y|=2，且x·y0，则x+y的值等于_________________. 7. 若(x2－x－1)＝1，则x＝___________．经过点A (1，0)． ⑴ 求b的值； ⑵ 设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内的点．如果以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ的长． 14.在一次国际象棋比赛中，每个选手都要与其他选手比赛一局.评分规则是：每局赢者记2分，输者