《MIT_电气工程与计算机科学系_动态系统及控制课程讲义》.pdf

动态系统及控制讲义 Mohammed Dahleh Munther A. Dahleh George Verghese 电气工程与计算机科学系 麻省理工学院1 1© 第一章 线性代数回顾 1.1 引言 动态系统是随着时间而变化的系统。动态系统模型通常用一对差分方程来描述。研究内容包 括：系统的内部变量和输出对输入和初始状态的响应；如何通过系统的输入/输出（I/O ）测 量值来推断系统的内部特性；如何控制系统输入得到期望的系统性能，等等。重点关注的是 线性模型（在这类模型里，主要是定常模型，即线性定常模型），原因如下： 线性模型描述了微小操作导致的小扰动，多数的控制设计也是为了调节这种扰动。 线性模型比非线性模型容易处理，可以找到系统、详细的设计方法。 通过适当选取位置和形式，工程系统通常由工作在线性状态的模块组成，避免了非 线性环节的引入。 线性代数是描述线性系统中多变量间相互作用的基本工具。在本课程的最初部分（第 4 或 5 讲），通过研究几个最小二乘的问题，来回顾线性代数中“Ax=y ”或线性方程的相关知 识。同时也有助于引入一些与动态系统相关的思想方法——例如：通过有限脉冲响应（FIR ） 线性时不变（LTI ）离散时间（DT ）系统I/O 量测的回归处理，得到脉冲响应系数的估计。 之后，我们会详细讲解多输入多输出线性定常系统的表达形式、结构和特性。线性代数 中的特征值－特征向量（A υ= λυ）是重点，会花费较多时间。按照这种方法，在课程结 尾，通过检查多输入多输出线性定常系统的控制设计、鲁棒性等方面的内容将学过的东西贯 穿起来。 对于将来在系统、控制、估计、识别、信号处理和通信方面的工作来说，本课程的内容 是有价值的基础知识。 下面列出了需要回顾的一些重要概念，请查阅你所熟悉的线性代数课本。有一些思想可 能是全新的（例如分块矩阵）。 1.2 向量空间 回顾向量空间的定义：向量，标量域，向量加法（满足结合律和交换律），标量乘法（满足 结合律和分配律）；存在零向量 0，使得对于任意的x 有 x ＋0 ＝x ，以及标准化条件 0x ＝0， 1x＝x 。用定义判断下面前四个例子是向量空间，而第五、第六个不是向量空间： 。 实数域 上的实连续函数 f （t ），以及向量加法（将函数按对应点相加，f （t ）＋ g （t ））和数乘（将函数乘上一个常数，a*f （t ））的定义。 m×n 维矩阵集合。 线性定常微分方程 的解集y （t ）。 中满足 的点 的集合，例如由原点指向单 位圆的“向量”。 线性定常微分方程 的解集y （t ）。 向量空间的子空间是指构成向量空间的向量的子集。为了验证一个集合是一个向量空 间，我们所要检验的就是子集满足向量加法和数乘运算；请试着证明这个判定。给出前述向 量空间的子空间实例。 证明任意 n×m 维实矩阵的值域，以及任意 m×n 维矩阵的核空间是 的子空间。 证明一个给定向量集的所有线性组合构成一个子空间（称该子空间由这些向量生 成，也叫做他们线性张成的子空间）。 证明一个向量空间的两个子空间的交集是该向量的一个子空间。 证明两个子空间的并集通常不是子空间。并确定什么情况下子空间的并集是子空 间。 证明子空间的直和仍是子空间，子空间的直和（或 Minkowski ）是指这个空间中的 每个向量都可以写成两个子空间的向量和的形式。 当遇到类似上面的问题时，学会自己举出简单（例如，在 和 中）