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关于离散动力系统的周期轨道 姓名：王建军 导师：黄健民 专业：基础数学 方向：微分方程 年级：2004 摘要 本文讨论了一阶线性差分方程和非线性差分方程组的带有时滞反 馈的差分方程系统的周期解的存在性。获得了一系列新的结果，推 广了离散动力系统的差分方程的相关结论。本文由三章构成。 第一章简述了问题产生的历史背景和本文的主要工作。并说明本 文工作的理论意义和实际价值以及理论的来源。 第二章讨论了描述单个神经元的动力学行为的差分方程 x βx −g (x ) , n 0,1, ⋅⋅⋅ (1) n+1 n n 其中β 是内部衰变率，g 是具有 McCulloch-Pitts 非线性的信号函数。 当β ∈(1, ∞) 时，可以得到以下定理和推论。 定理 2.1 设β ∈(1, ∞) ，那么方程(1)有一个不动点 σ ，且有周期为2 β−1 σ σ(β+1) 的周期解O( ) 和周期为 4 的周期解O( 2 ) 。假如存在正整数k 1 β 1 β+ + 2k 2k −2 2 使得β −2β +2β −1 ≥0 ，那么方程(1)有周期为2k 的周期轨道。 定理 2.3 设 2k +1 2k −1 β ∈(1, ∞) ，k ∈N (1) ，那么当且仅当 β −2β −1 ≥0 时， 方程 (1)有2k+1 的周期解。 Ⅰ 2k 2k −2 2 推论 2.4 如果 β −2β +2β −1 ≥0 成立 ，那么方程 (1) 有 2k +1 2k −1 2k,2k −2, ,4,2 为周期的周期轨道。如果β −2β −1 ≥0 成立，那么 方程(1)有 2k +1,2k +3, 为周期的周期轨道。所得到的定理比[3,4]中 相应的定理更强。 第三章讨论了描述两个相同神经元相互作用的离散动力系统 x (n) βx(n =−1) − f ( y(n −k ))   n ∈N (2) ( ) β ( 1) ( ( )) y n y n =− +f x n −k  其中β ∈(0,1) 是内部衰变率，f 是信号发射函数，k 是信号发射时滞。 系统 (2)可以看作具有时滞反馈的两个神经元的人工神经网络系统 dx =− x t −f