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双 Poisson 模型的破产概率研究 2001 级概率统计专业金融统计方向 研究生 谭激扬 导师 杨善朝教授 摘要 在保险风险理论研究中，保险公司在有限时间内的破产概率、最终破产概率以及相关问 题是研究的主要内容。本文在经典复合 Poisson 风险模型的基础上，研究保费的收取也为一 个 Poisson 过程的模型，即连续时间的双 Poisson 模型： U(t)=u+C(t)-S(t) t≥0 和离散时间的双 Poisson 模型： U(n)=u+C(n)-S(n) n=0,1,2,… 其中 u=U(0)是初始盈余，S(t)或 S(n)是参数为λ分布函数为 F(x) 的复合 Poisson 过程，C(t) 或 C(n)是参数为δ 分布函数为 G(x)的复合Poisson 过程，分别表示保险公司在时间区间(0,t] 或(0,n] 中的总理赔量和总保费收入。 本文的研究是具有理论意义的。破产概率是保险公司测度风险的重要依据，有助于保险 公司防范和化解金融风险。破产理论作为风险理论的主要研究课题，当然要求所考虑使用的 模型尽量接近于现实因素。本文中的双 Poisson 模型就是在经典复合 Poisson 模型的基础上 向现实更进一步的接近。 通过对双 Poisson 模型给定一些独立性条件以及安全运营条件，我们在第一章中得到了 连续时间模型的最终破产概率ψ(u) 所满足的积分方程 u ∞ (λ+δψ) (u) λ(1=−F (u)) +λ ψ(u −x)dF (x) +δ ψ(u +y)dG( y) ∫0 ∫0 设分布 F(x) 的期望为µ ，当每个保单的保费的收取量为常量，且理赔量 X 是一个取正整数 值的随机变量时，我们得到了初始盈余取非负整数时的破产概率的递推公式 λµ ψ(0) δ λ(µ−1) λ ψ(1) =+ ψ(0) δ δ λ+δ λ t −1 (t) (t 1) [F (t 1) 1 (t 1 x) p ] ψ ψ =− + − − −∑x 0ψ − − x δ δ 其中p x =P(X=x) 。 设个别理赔量X 服从参数为β 的指数分布，个别保单收取的保费 Y 服从参数为α 的截 尾指数分布，密度函数分别为 −αx −βx αe f (x ) βe I (x =0) ， g (x ) −αm I (0 =x ≤m) 1−e 其中 m 是给定的一个正数。则最终破产概率有显式解 ψ(u) = s